2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破二焦点弦的性质学案新人教b版选修 15页

专题突破二　焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题证明　(1)①当AB⊥x轴时，不妨设A，B，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程y2＝2px，消元得y2＝2p，即y2－－p2＝0，n∴y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，由图知|GG1|＝|AA1|，则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，同理得|BF|＝；当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，∴|AF|＝，|BF|＝.(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋＝≥2p，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径为最短的焦点弦．(4)由(2)可得，＋＝＋＝.(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，故满足S△OAB＝；当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，原点O到直线AB的距离d＝＝sinθ，nS△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于点M1，则|MM1|＝＝＝，故以AB为直径的圆与准线相切．(7)设直线AB的方程：x＝my＋，代入y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0.由(1)可得y1y2＝－p2.因为BB1∥x轴，∴B1，即B1，＝＝＝×＝＝kOA，所以∥且公共点为O，所以直线AB1过点O.所以A，O，B1三点共线，同理得B，O，A1三点共线．二、焦点弦性质的应用例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题n题点　与弦长有关的其它问题答案　D解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为y＝，代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，故所求三角形的面积为××＝.方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，n当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16.方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，设直线AB的倾斜角为θ，则θ≠且θ≠0，因此|AB|＋|DE|＝＋＝＋＝＝≥16.当且仅当θ＝或π时，等号成立．点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练　过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　解析　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题意知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)A．y2＝－12xB．y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4x答案　B解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，n∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．考点　题点　答案　解析　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，又准线方程为x＝－1，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.5．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为________．考点　题点　答案　90°解析　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，如图．∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝∠AFB＝90°.一、选择题1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(　　)nA．1B．2C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　D解析　如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列考点　题点　答案　A解析　设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.3．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)nA．4B．3C．4D．8答案　C解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin60°＝4.故选C.4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　)A．3B．2C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　由抛物线的性质可知，|AF|＝，|BF|＝，∴＝＝3.5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　)A．4B．6C．8D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　由焦点弦的性质知，y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，则y＋y≥2|y1|·|y2|＝8，当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号．故y＋y的最小值为8.n6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　　)A．2B.C．4D．2答案　C解析　设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为(　　)A.B．2C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　设直线l的倾斜角为θ，由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝，∴解得8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)考点　抛物线中过焦点的弦长问题n题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　当cosθ>0时，|AF|＝，|BF|＝.由|AF|＝3|BF|，∴＝，即cosθ＝，此时tanθ＝，当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝，由|AF|＝3|BF|，∴＝，即cosθ＝－，此时tanθ＝－，故选C.9．直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F，交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为(　　)A．{1}B．(0,1]C．[1，＋∞)D.考点　题点　答案　A解析　易知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x.化简为k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝1，根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴＋＝＋＝＝1.当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝1，此时|BF|＝|AF|＝2，n∴＋＝1，综上，＋＝1.10.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是(　　)A．8B．4C．2D．1考点　题点　答案　D解析　易知，直线斜率存在，设为k，由得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，∵|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD，∴|AB|·|CD|＝yAyD＝1.二、填空题11．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．考点　题点　答案　解析　∵抛物线y2＝x的焦点坐标为，准线方程为x＝－，∴直线AB为过焦点的直线，∴AB的中点到准线的距离＝＝2，∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AFn|＝3，则△AOB的面积为________．考点　题点　答案　解析　由题意知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2，2)，则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，得2x2－5x＋2＝0，可得B，所以S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝.13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　6解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.三、解答题14.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．(1)求抛物线的方程；(2)求|AB|＋|CD|的值．考点　题点　n解　(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，可知圆心为F(2,0)，半径为2，又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，由已知可知直线l的方程为y＝2(x－2)，由消去y，得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝6＋4＝10，因此|AB|＋|CD|＝10－4＝6.15.已知M为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，A(a,0)(a>0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N.当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△OMN的面积为.(1)求抛物线的标准方程；(2)记t＝＋，若t的值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．考点　题点　解　(1)由题意知，当直线MA与抛物线对称轴垂直时，S△MON＝|OA||MN|＝××2p＝＝，∴p＝3，n故抛物线C的标准方程为y2＝6x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my＋a，联立得y2－6my－6a＝0，所以Δ＝36m2＋24a>0，y1＋y2＝6m，y1y2＝－6a，由对称性，不妨设m>0，因为a>0，所以y1y2＝－6a<0，所以y1，y2异号，又t＝＋＝＋＝t2＝·＝·＝·＝.所以，当且仅当－1＝0即a＝时，t与m无关，A为稳定点．