2020版高中数学第三章不等式阶段训练五新人教b版 5页

阶段训练五(范围：§3.1～§3.5)一、选择题1．(2018·北京)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)　　　　　　　　　A．对任意实数a，(2,1)∈AB．对任意实数a，(2,1)∉AC．当且仅当a<0时，(2,1)∉AD．当且仅当a≤时，(2,1)∉A答案　D解析　若(2,1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2,1)∉A，故选D.2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．4B.C．2D.答案　A解析　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅且a＝b＝1时取等号．3．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为(　　)A．B．C．D．{x|x＞2}答案　B解析　不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2＞0，方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，则不等式3x2－7x＋2＞0的解集是，故选B.4．不等式≤2的解集是(　　)A．{x|x<－8或x>－3}B．{x|x≤－8或x>－3}C．{x|－3≤x≤2}D．{x|－3－3.5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)A．8B．7C．6D．5答案　C解析　∵2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取等号)．∴9m≤54，即m≤6.6．已知a>0，b>0且a2＋＝1，则a的最大值为(　　)A．B．C．D．答案　C解析　∵·≤＝＝＝，当且仅当＝时等号成立，∴a≤，故a的最大值为.7．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)A．(0,4)B．(0,4]C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)答案　B解析　作出不等式组表示的区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，当目标函数的图象z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时，z取最大值，∴a＋b＝4，∴ab≤2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，又∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.n二、填空题8．已知x，y∈(0，＋∞)，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．答案　3解析　因为x>0，y>0，＋＝1，所以＋≥2＝(当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号)，即≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3.9．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．答案　[25，＋∞)解析　令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，∴由二次函数图象得解得∴m的取值范围是[25，＋∞)．10．一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________m2.答案　100解析　设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴矩形的面积S＝xy≤2＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100m2.11．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值为________．答案　－解析　因为对一切x∈，不等式x2＋ax＋1≥0都成立，所以ax≥－x2－1，即a≥－x－.设g(x)＝－x－，只需a≥g(x)max，n而g(x)＝－x－在x∈上是增函数，所以g(x)＝－x－的最大值是g＝－.三、解答题12．正数x，y满足＋＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．解　(1)由1＝＋≥2，得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.(2)由题意，可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.13．已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若当x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立等价于解得－40时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，由解得m<，所以0