2020版高中数学第三章一元二次不等式及其解法（第2课时）一元二次不等式及其解法（二）学案 13页

第2课时　一元二次不等式及其解法(二)学习目标　1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论．3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一　分式不等式的解法一般的分式不等式的同解变形法则：(1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二　一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f(x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方．区间[a，b]是不等式f(x)>0的解集的子集．恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．知识点三　含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是∅．在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论．1．由于>0等价于(x－5)(x＋3)>0，故y＝与y＝(x－5)(x＋3)图象也相同．(　×　)2．x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x．(　×　)3．(ax＋1)(x＋1)>0⇔(x＋1)>0．(　×　)n题型一　分式不等式的解法例1　解下列不等式：(1)<0；(2)≤1.解　(1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－40(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．跟踪训练1　解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.解　(1)原不等式可化为解得∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.(2)方法一　原不等式可化为或解得或∴－30，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－30时，g(x)在[1，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，∴00，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，∴只需m<即可．综上所述，m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围．解　f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，m(x2－x＋1)－6<0.n设g(m)＝m(x2－x＋1)－6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2－x＋1＝2＋＞0.∴g(m)在[1,3]上为增函数，要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，方程x2－x－1＝0的两根为x1＝，x2＝，∴x2－x－1<0的解集为，即x的取值范围为.反思感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解．(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答．跟踪训练2　当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案　(－∞,－5]解析　构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有即可得所以m≤－5.题型三　含参数的一元二次不等式例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.解　当a<0时，不等式可化为(x－1)＞0，∵a<0，∴<1，∴不等式的解集为.当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}．当a＞0时，不等式可化为(x－1)<0.n当02或x≤1.3．不等式≥1的解集是(　　)A．(－∞，－1)∪(－1，2]B．[－1，2]C．(－∞，2]D．(－1，2]n答案　D解析　∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)＜0或x－2＝0，故－1＜x≤2.4．若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围是________．答案　(－∞，－2)解析　x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间[－1，1]上恒成立，即k＜[－(x2＋x)]min.当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.5．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.解　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a－1时，原不等式的解集为{x|－1f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a0，a<0，a＝0．(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x10.又a<－1，∴>a，∴x>或x0(m>0)的解集可能是(　　)A．B．RC．D．∅答案　A解析　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.6．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－2，1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案　C解析　令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，∴a2＋a－2<0，∴－23C．12答案　B解析　设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)＞0恒成立且a∈[－1，1]⇔⇔⇔x<1或x>3.n8．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－2，2)D．(－2，2]答案　D解析　当a－2≠0时，即解得－20的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．解　(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，∴3x2－a(5－a)x－b<0.又f(x)>0的解集为(－1,3)，∴n∴或(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，即2a2－10a＋(12－b)>0.又对任意实数a，f(2)<0恒成立，∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，∴b<－，∴实数b的取值范围为.13．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．解　方法一　由题意可得a<0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系得∵a<0，0<α<β，∴由②得c<0，则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋＞0.①÷②，得＝＝－<0.由②得＝＝·＞0.∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．又∵0<α<β，∴0<<，∴不等式x2＋x＋＞0的解集为，即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．方法二　由题意知a<0，∴由cx2＋bx＋a<0，得x2＋x＋1＞0．将方法一中的①②代入，得αβx2－(α＋β)x＋1＞0，即(αx－1)(βx－1)＞0．又∵0<α<β，n∴0<<．∴所求不等式的解集为．14．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围为________．答案　[－3,2)解析　∵－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解，∴2(－2)2＋(2k＋5)(－2)＋5k＝k－2<0．∴k<2，－k>－2>－，∴2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)<0的解集为，又x2－x－2>0的解集为{x|x<－1或x>2}，∴－2<－k≤3，∴k的取值范围为[－3,2)．15．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2．①当02，所以原不等式的解集为；②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为．(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为．综上，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当01时，原不等式的解集为．