2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案新人教b版选修 9页

1.1.1　命　题学习目标　1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假．知识点　命题的概念1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．3．分类命题1．一般陈述句都是命题．(　×　)2．命题也可以是这样的表达式：“x>5”．(　×　)3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．(　√　)4．含有变量的语句也可能是命题．(　√　)5．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．(　×　)题型一　命题的判断例1　下列语句为命题的有________．(填序号)①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③220是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.答案　①④解析　①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句．反思感悟　判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)陈述句才可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．n(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1　判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．考点　命题的定义题点　命题的定义解　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．题型二　命题真假的判断例2　给定下列命题：①若a>b，则2a>2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．其中为真命题的是________．(填序号)答案　①③④解析　结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；函数y＝sinx的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为·＝||·||cos(π－B)＝－||||cosB>0，所以cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．引申探究n本例中命题④改为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？解　不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角时，才可以判定三角形为锐角三角形．反思感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2　下列命题中为真命题的是(　　)A．若x＜e，则lnx＜1B．若向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥cC．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足acosB＝bcosA，则该三角形为等腰三角形答案　D解析　对于A，需满足x＞0；对于B，若b＝0，其结论不一定成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．命题改写要关注大前提典例　“已知c>0，当a>b时，ac>bc”．把该命题改写成“若p，则q”的形式．解　该命题的“若p，则q”的形式为已知c>0，若a>b，则ac>bc.[素养评析]　(1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．(2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养.1．下列语句为命题的是(　　)A．2x＋5≥0B．求证对顶角相等C．0不是偶数D．今天心情真好啊考点　命题的定义题点　命题的定义答案　C解析　结合命题的定义知C为命题．n2．下列命题是真命题的为(　　)A．若a>b，则b且ab>0时，才能得到<；选项B，令a＝b＝c＝0，此时显然不是等比数列；选项D，若a＝b<0，则结论显然不成立，故选C.3．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案　4解析　①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直．4．若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为__________．答案　(－∞，0)∪(0,1)解析　据题意知即得故a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．5．若命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析　由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题n写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．一、选择题1．下列语句中是命题的是(　　)A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．指数函数的图象真漂亮！答案　B2．下列说法正确的是(　　)A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题考点　命题的真假判断题点　命题真假的判断答案　D解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；对于B，所给语句是命题；对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．3．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(　　)①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4答案　B解析　②④正确．4．下列命题是真命题的是(　　)A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcnC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M答案　D解析　A中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(　　)A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交答案　D解析　D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案　B解析　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是(　　)A．24C．－24考点　命题的真假判断题点　由命题的真假求参数的取值范围答案　C解析　由x2－2x－8<0，解得－20；③垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？④一个数不是奇数就是偶数；⑤2030年6月1日上海会下雨．答案　③⑤解析　③为疑问句，故③不是命题；⑤不是命题，因为该语句无法判断其真假．10．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中真命题的序号是____________．答案　①②④解析　①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，但它不是矩形，故为假命题；④为真命题．11．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案　(0,2)解析　函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈(0,2)．三、解答题12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；n(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.解　(1)若ac>bc，则a>b.∵ac>bc，当c<0时，a，则mx2－x＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.该命题是真命题．13．(1)已知命题“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；(2)已知命题“若x1”是假命题，求a满足的条件．解　(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，方程有解x＝－.当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．(2)因为命题当x1为假命题，所以应有当x10，x1x2>0，所以a≤0.14．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：(1)甲、乙至少有一个是真命题；n(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解　命题甲为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>或a<－1.命题乙为真命题时，2a2－a>1，即a>1或a<－.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，a的取值范围是.(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．解　如果A，则B，即“若x>，则x>1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；如果B，则A，即“若x>1，则x>”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.