2020版高中数学第二章抛物线的几何性质（第1课时）抛物线的几何性质学案新人教b版 12页

第1课时　抛物线的几何性质学习目标　1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1知识点二　焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．(　×　)2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．(　×　)3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．(　√　)4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．(　√　)n题型一　由抛物线的几何性质求标准方程例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点F.直线l：x＝，所以A，B两点坐标为，，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB的面积为4，所以··2|m|＝4，所以m＝±2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.引申探究　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案　B解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.反思感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．n解　∵椭圆＋＝1的短轴所在直线为x轴，∴抛物线的对称轴为x轴．设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，设＝5，∴a＝±20.∴抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.题型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y，得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.引申探究本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.解　由抛物线定义|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1，n又AA1∥x轴，∴∠OFA1＝∠AA1F，∴∠OFA1＝∠AFA1，同理得∠OFB1＝∠BFB1，∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°.反思感悟　(1)抛物线的焦半径定义抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段焦半径公式P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练2　直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．答案　x＋y－1＝0或x－y－1＝0解析　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意．所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，即＝6，解得kn＝±1.所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y答案　C解析　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.3．已知过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________．答案　10解析　由y2＝8x，得p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝2×＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；n⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)答案　②⑤解析　由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②符合．又因为它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也符合．而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意．所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解　(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y＝ax2(a<0)的焦点坐标和准线方程分别为(　　)A.，x＝－B.，x＝nC.，y＝－D.，y＝答案　C解析　y＝ax2可化为x2＝y，∴其焦点坐标为，准线方程为y＝－.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)A．18B．24C．36D．48答案　C解析　由题意知|AB|＝2p，则S△ABP＝×2p×p＝p2，又∵2p＝12，∴p＝6，S△ABP＝62＝36.3．抛物线C1：y2＝2x的焦点为F1，抛物线C2：x2＝y的焦点为F2，则过F1且与直线F1F2垂直的直线l的方程为(　　)A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．4x－y－2＝0D．4x－3y－2＝0答案　C解析　由题意知，F1，F2.所以直线F1F2的斜率为－，则直线l的斜率为4.故直线l的方程为y＝4，即4x－y－2＝0.4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是(　　)A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝8xD．y2＝6x答案　C解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，n则＝3，即x1＋x2＝6.又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.5．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，点A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)A．4B．8C．8D．16答案　B解析　抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，焦点F(2,0)，设A(－2，y0)，kAF＝＝－，则y0＝4，∴P(x0,4)，将P点坐标代入抛物线方程y2＝8x，(4)2＝8x0，得x0＝6.由抛物线定义可知|PF|＝|PA|＝x0＋＝6＋＝8.6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于(　　)A.B．6C．12D．7答案　C解析　设A，B的坐标分别为(x1，y1，)(x2，y2)．∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，∴AB的方程为y－0＝tan30°，即y＝x－.联立消去y，得x2－x＋＝0.∴x1＋x2＝－＝，由于|AB|＝x1＋x2＋p，n∴|AB|＝＋＝12.7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2考点　题点　答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验当b＝0时，不符合题意，故b＝2.二、填空题8．设抛物线y2＝16x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________.答案　13解析　设P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9，∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13.9．抛物线y＝x2的焦点与双曲线－＝1的上焦点重合，则m＝________.答案　13解析　抛物线y＝x2可化为x2＝16y，则其焦点为(0,4)，∴3＋m＝16，则m＝13.10．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.答案　解析　由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，则由|AF|＝3，知xA＝2.设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，n所以xA·xB＝1，故xB＝，故|BF|＝xB＋1＝.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________．答案　48解析　设一个顶点为(x,2)，则tan30°＝＝，∴x＝12.∴S＝×12×8＝48.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.∵|AM|＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0得8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.13．已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解　(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)(x≥0)，则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋.∵x≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|min＝，n故距点A最近的点P的坐标为(0,0)．(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝＝，∴点P的坐标为.14．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，点F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案　C解析　M到准线的距离大于p，即y0＋2＞4，∴y0＞2.15．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，·＝0.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且||，||，||成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求点B的坐标．解　(1)设N(x，y)，由＝2，得点P为线段MN的中点，∴P，M(－x,0)，∴＝，＝.由·＝－x＋＝0，得y2＝4x.即点N的轨迹方程为y2＝4x.(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，n∵||，||，||成等差数列，∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.∵线段AD的中点为，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)，∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.又kAD＝，∴·＝－1，即＝－1.∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.∵点B在抛物线上，∴B(1,2)或B(1，－2)．