2020版高中数学第二章椭圆的几何性质（第3课时）直线与椭圆的位置关系（二）学案 18页

第3课时　直线与椭圆的位置关系(二)题型一　弦长问题例1　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.考点　题点　解　(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－.∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，∴x1＋x2＝，x1·x2＝0.|MN|＝·＝，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．∴k＝±1，经检验符合题意．∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟　求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到n关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．跟踪训练1　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．考点　题点　解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.题型二　中点弦问题例2　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．考点　题点　解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.又M为线段AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.n故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二　点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－＝－，即kAB＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三　对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y)．∵A，B两点都在椭圆上，∴①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.反思感悟　解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.n跟踪训练2　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1考点　题点　答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②得＝－.∴＝－.∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.而kAB＝＝，∴＝，∴a2＝2b2，∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，∴E的方程为＋＝1.题型三　与椭圆有关的最值或范围问题例3　已知椭圆C：4x2＋y2＝1.(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2＋n2的取值范围；(2)设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题解　(1)m2＋n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，则m2＋n2∈.(2)可求得O到AB的距离d＝，将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，n消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝，|AB|＝·＝·＝，Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，－b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点　直线与椭圆的位置关系题点　求椭圆中的直线方程解　(1)由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.n(2)设EF：x＝my－1(m>0)代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝2，得y1＝－2y2，由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得2＝，∴m＝1或m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.(3)记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)．将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*)x1′，x2′是此方程的两个相异实根．设PQ的中点为M，则xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝，由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，∴kDM＝＝＝－，∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.但k＝1，k＝均使方程(*)没有两相异实根．故这样的k不存在．[素养评析]　本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则b等于(　　)A．1B．±1C．－1D．±2考点　n题点　答案　B解析　因为椭圆x2＋＝1的焦点F1(0，－3)，F2(0,3)，所以b＝1或－1.2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)A.B.C.D.考点　题点　答案　C解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－.纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.3．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)A．x＋2y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0考点　直线与椭圆的位置关系题点　求椭圆中的直线方程答案　A解析　由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.由消去y，得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，所以＝×＝1，解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.n4．过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是________．考点　题点　答案　解析　由题意可知，在＋＝1中，c＝＝，故F(，0)．当x＝时，y＝±3＝±，所以|AB|＝，所以以AB为直径的圆的面积是π×2＝.5．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度．考点　题点　解　过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.∴|AB|＝·＝·＝.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；n(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．一、选择题1．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)A．2B.C.D.答案　C解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.2．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)A．6B．15C．20D．12考点　题点　答案　D解析　S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为(　　)A.B.C.D.考点　题点　n答案　C解析　由联立得3x2－4x＝0，可知A(0，－1)，B，又F1(－1,0)，∴|F1A|＋|F1B|＝＋＝.4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)A.B.C.D.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交时弦中点问题答案　A解析　联立方程组可得即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，所以kOP＝＝＝.5．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)A.B．2C.D.考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案　D解析　由题意得椭圆方程为＋y2＝1，联立化简得3x2－4x＝0，得x＝0或x＝，代入直线方程得或n不妨设A(0,1)，B，所以|AB|＝＝.6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交的其他问题答案　B解析　由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.7．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　题点　答案　C解析　两个交点横坐标是－c，c，所以两个交点分别为，，n代入椭圆方程得＋＝1，两边乘以2a2b2，则c2(2b2＋a2)＝2a2b2，∵b2＝a2－c2，c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，2a4－5a2c2＋2c4＝0，(2a2－c2)(a2－2c2)＝0，＝2或，∵0b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是Mn(－4,1)，则椭圆的离心率是________．考点　题点　答案　解析　设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得＋＝0，∴＝－×＝1，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.11．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案　x＋2y－3＝0解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①n＋＝1，②①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.三、解答题12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．(1)求△ABF2的周长；(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.考点　题点　解　(1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1，由整理得7y2－6y－9＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式|AB|＝·＝·＝.n13．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点，若|AB|＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交时弦中点问题解　易知a>0，b>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得ax＋by＝1，①ax＋by＝1，②②－①，得a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.∵＝kAB＝－1，＝kOC＝，∴b＝a.又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，∴|x2－x1|＝2.由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·＝4，将b＝a代入上式，得a＝，b＝，∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.14．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交的其他问题答案　解析　由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵·＝0且P在椭圆上运动，n∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝＝，∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.15．已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．解　(1)设M(x，y)，∵＝，∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，∴2＋y2＝1，即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵l与圆O：x2＋y2＝1相切，∴＝1，即m2＝t2＋1，①由消去x，并整理得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0，其中Δ＝4m2t2－4(t2＋4)(m2－4)＝48>0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②∴|AB|＝＝，将①②代入上式得|AB|＝＝，|m|≥1，n∴S△AOB＝|AB|·1＝·＝≤＝1，当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，∴△AOB面积的最大值为1.