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- 2022-04-13 发布
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专题突破一 离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1 (1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为________.答案 2或解析 方法一 由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.当双曲线的焦点在x轴上时,若其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示;若其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,即=或.又b2=c2-a2,所以=3或,所以e2=4或,所以e=2或.同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有=或,所以=或,亦可得到e=或2.综上可得,双曲线的离心率为2或.方法二 根据方法一得到:当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e==或2;当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e==2或.n综上可得,双曲线的离心率为2或.(2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 [2,+∞)解析 由题意知≥,即2≥3,∴e=≥2,故离心率e的取值范围是[2,+∞).点评 (1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助=进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.(2)当直线与双曲线有一个公共点时,利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系,得到的范围,再利用e=得到离心率的取值范围.跟踪训练1 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A.B.C.D.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 由题意知,过点(4,-2)的渐近线的方程为y=-x,∴-2=-·4,∴a=2b.方法一 设b=k(k>0),则a=2k,c=k,∴e===.方法二 e2=+1=+1=,故e=.二、以焦点三角形为指向求离心率n例2 如图,F1和F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为________.思维切入 连接AF1,在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 +1解析 方法一 如图,连接AF1,由△F2AB是等边三角形,知∠AF2F1=30°.易知△AF1F2为直角三角形,则|AF1|=|F1F2|=c,|AF2|=c,∴2a=(-1)c,从而双曲线的离心率e==1+.方法二 如图,连接AF1,易得∠F1AF2=90°,β=∠F1F2A=30°,α=∠F2F1A=60°,于是离心率e=====+1.点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值.跟踪训练2 设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )nA.B.C.D.考点 椭圆的离心率问题题点 求a,b,c得离心率答案 A解析 如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|,|F1F2|=|PF2|.由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e==·=.三、寻求齐次方程求离心率例3 已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.思维切入 通过2|AB|=3|BC|,得到a,b,c的关系式,再由b2=c2-a2,得到a和c的关系式,同时除以a2,即可得到关于e的一元二次方程,求得e.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 2解析 如图,由题意知|AB|=,n|BC|=2c.又2|AB|=3|BC|,∴2×=3×2c,即2b2=3ac,∴2(c2-a2)=3ac,两边同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2(负值舍去).点评 求圆锥曲线的离心率,就是求a和c的值或a和c的关系,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能将条件整理成关于a和c的关系式,进而求得的值,其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2(或a2=c2+b2),化简为参数a,c的关系式进行求解.跟踪训练3 已知椭圆+=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率为________.考点 椭圆的离心率问题题点 求a,b,c的齐次关系式得离心率答案 解析 在△ABF中,|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c.由AB⊥BF得|AB|2+|BF|2=|AF|2,将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得e=.因为0b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且n·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________.思维切入 设P点坐标,通过·=c2及椭圆方程得到x2的值,由x2∈[0,a2],求得a2的范围进而求得e的取值范围.考点 椭圆的离心率问题题点 由a与c的关系式得离心率答案 解析 设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,将y2=b2-x2代入上式,解得x2==.又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈.点评 一是通过设点的坐标,利用圆锥曲线上点的坐标的范围,转化为离心率的取值范围.二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围.(1)椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c].(2)双曲线的焦半径①点P与焦点F同侧时,其取值范围为[c-a,+∞);②点P与焦点F异侧时,其取值范围为[c+a,+∞).跟踪训练4 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为( )A.B.C.2D.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 B解析 ∵P在双曲线的右支上,∴由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,∵|PF1|=4|PF2|,∴4|PF2|-|PF2|=2a,n即|PF2|=a,根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=a≥c-a,∴a≥c,又∵e>1,∴10,b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为( )A.B.C.D.2考点 题点 答案 A解析 由已知椭圆的离心率为,得=,∴a2=4b2.∴e2===,∴双曲线的离心率e=.2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a,其离心率e的取值范围为( )A.[,+∞)B.[,+∞)C.(1,]D.(1,]考点 题点 答案 D解析 依题意,点(a,0)到渐近线bx+ay=0的距离不大于a,∴≤a,解得e≤.又∵e>1,∴1b>0)与曲线x2+y2=a2-b2无公共点,则椭圆的离心率e的取值范围是( )A.B.C.D.考点 题点 答案 D解析 由题意知圆的半径是椭圆的焦距,∴由圆在椭圆内部,得b>c,即b2>c2,∴a2>2c2,故00,b>0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为________.考点 题点 答案 解析 根据双曲线的对称性,不妨设点P在第一象限,则解得又∵|F1F2|=2c,∴|PF2|最小.在△PF1F2中,由余弦定理,得=cos30°,∴2ac=3a2+c2.n等式两边同除以a2,得e2-2e+3=0,解得e=.一、选择题1.已知点(2,3)在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为( )A.2B.C.3D.4考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 根据点(2,3)在双曲线上,得-=1,①考虑到焦距为4,则2c=4,即c=2.②联立①②及a2+b2=c2,解得a=1,b=,所以离心率e=2.2.(2018·江西赣州高二检测)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.考点 题点 答案 B解析 双曲线-=1的一条渐近线为y=x,由题意知=,∴e===.3.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( )A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)考点 n题点 答案 C解析 e=,∵a>1,∴e∈(1,).4.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1⊥MF2,则椭圆的离心率为( )A.B.-1C.2-3D.2-考点 题点 答案 B解析 由题意知,在Rt△MF1F2中,|F1F2|=2c,∠F1F2M=60°,∴|MF2|=c,|MF1|=2c×=c,|MF1|+|MF2|=c+c=2a,∴e===-1.5.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于点E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为( )A.2B.C.3D.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 取右焦点F(c,0),渐近线方程为y=x,∵FM⊥OM,∴可得直线FM的方程为y=-(x-c),令x=0,解得y=,∴E,∴线段FE的中点M,又中点M在渐近线y=x上,∴=×,n解得a=b,∴双曲线的离心率e===.6.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A.4+2B.2-1C.D.+1考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 因为MF1的中点P在双曲线上,所以|PF2|-|PF1|=2a,因为△MF1F2为正三角形,边长都是2c,所以c-c=2a,所以e===+1.7.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.C.D.考点 椭圆的离心率问题题点 由a与c的关系式得离心率答案 C解析 ∵·=0,∴⊥,∴点M在以F1F2为直径的圆上,又点M总在椭圆的内部,∴c0,b>0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若△OAB的面积为,则双曲线的离心率为________.考点 题点 n答案 解析 设F为右焦点,其坐标为(c,0),令x=c,代入y=±x,可得y=±,∵S△OAB=bc,∴××c=,∴=,则e=.10.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为________.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 解析 不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,又r1+r2=3b,故r1=,r2=.又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(负值舍去),故e=====.11.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段ABn的中点,则椭圆C的离心率为________.考点 题点 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,①+=1,②∵M是AB中点,∴=1,=1,∵直线AB的方程是y=-(x-1)+1,∴y1-y2=-(x1-x2),①-②可得+=0,即+=0,∴a=b,则c=a,∴e==.12.(2018·广东深圳高二期中)椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上任意一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是________.考点 题点 答案 解析 由题意可知F1(-c,0),F2(c,0),设P(x,y).由+=1,得x2=,∵=(-c-x,-y),=(c-x,-y),n∴·=x2-c2+y2=-c2+y2=a2-c2-,当y=0时,·取得最大值a2-c2,即c2≤a2-c2≤3c2,∴c≤a≤2c,则≤e≤.三、解答题13.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.考点 题点 解 由题意,知直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.因为点(1,0)到直线l的距离d1=,点(-1,0)到直线l的距离d2=,所以s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.因为e>1,所以e的取值范围是.14.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.B.C.D.考点 题点 n答案 A解析 设|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2,e1=,e2==.在△PF1F2中,由余弦定理,得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以16c2=(|PF1|+|PF2|)2+3(|PF1|-|PF2|)2=4a+12a,即4=+3e⇒e=或e=1(舍去)⇒e1=.15.已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点.(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e∈时,求椭圆长轴长的最大值.考点 题点 解 (1)∵e==,2c=2,∴a=,则b==,∴椭圆的方程为+=1.将y=-x+1代入椭圆的方程,消去y得5x2-6x-3=0,其中Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=-,∴|AB|=|x1-x2|=·=×=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).n∵⊥,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.由消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.又x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1.由x1x2+y1y2=0,得2x1x2-(x1+x2)+1=0.∴-+1=0,整理得a2+b2-2a2b2=0.∵b2=a2-c2=a2-a2e2,代入上式得2a2=1+,∴a2=.∵≤e≤,∴≤e2≤,∴≤1-e2≤,∴≤≤2,∴≤1+≤3,∴≤a2≤,符合条件a2+b2>1,由此得≤a≤,∴≤2a≤.故椭圆长轴长的最大值为.