2020版高中数学第三章利用导数研究函数的极值（第1课时）利用导数研究函数的极值学案 17页

第1课时　利用导数研究函数的极值学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　极值点与极值的概念1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．特别提醒：如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)n2．极大值一定比极小值大．(　×　)3．函数f(x)＝有极值．(　×　)4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．(　√　)题型一　极值与极值点的判断与求解命题角度1　知图判断函数的极值例1　已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　C解析　由导函数的图象可知，当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.反思感悟　通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1　如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③nC．③④D．①③④考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　B解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x＝2是f(x)的极大值点，故②③正确，④错误．命题角度2　求函数的极值或极值点例2　求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝x2－2lnx.考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6.(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，解方程＝0，得x1＝1，x2＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值1↗n因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4ex－2)．解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，－ln2)－ln2(－ln2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．题型二　已知函数极值(或极值点)求参数例3　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝n________.(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　(1)2　9　(2)(－∞，1)解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，∴即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.反思感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练3　已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,1)D．(－1,0)考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　D解析　若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－10，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.题型三　函数极值的综合应用例4　已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－11时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．引申探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解　由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．反思感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练4　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．考点　函数极值的应用n题点　函数的零点与方程的根解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗－m↘－16－m↗则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，得解得－160)的图象有两个不同的交点，则a>0.n设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，则切线斜率kl＝＝，当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，则kl＝1，令2a＝1，得a＝，结合图象知01时，f′(x)>0；当－12D．a<－3或a>6考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　D解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.5．求函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)的极值．考点　函数的极值与导数的关系题点　含参数的函数求极值问题解　f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值；②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上是单调递减的，在(lna，＋∞)上是单调递增的，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．n综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．一、选择题1．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)A．p是q的充要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点　题点　答案　C解析　当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上可知，p是q的必要条件，但不是充分条件．2．设函数f(x)＝x2－lnx，则(　　)A．x＝－是f(x)的极大值点B．x＝－是f(x)的极小值点C．x＝是f(x)的极小值点D．x＝是f(x)的极大值点n考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题答案　C解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当00，解得x>3或x<2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．4.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　D解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－33时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．n5．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　)A．(3，－3)B．(－4,11)C．(3，－3)或(－4,11)D．不存在考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　B解析　f′(x)＝3x2－2ax－b，∵当x＝1时，f(x)有极值10，∴解得或验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，∴a＝－4，b＝11.6．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,3)B．(－∞，3)C．(0，＋∞)D.考点　函数极值的应用题点　极值存在性问题答案　D解析　令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.由题意知，∈(0,1)，即0<<1，解得0－1C．a<－D．a>－考点　根据函数的极值求参数值题点　已知极值求参数答案　A解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案　D解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．n二、填空题10．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　y＝－解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1，∴y＝－，∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.11.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　2解析　由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.12．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根答案　(－2,2)解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，所以当－20)，故f′(x)＝－－x＋1＝.当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln2.所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．14．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根解　(1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，nx取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．15．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．16．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；n(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．考点　函数极值的应用题点　函数的零点与方程的根解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，所以f(x)的极小值为1，无极大值．(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x>0)，所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，令k′(x)<0，得0