2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2“非”（否定）学案新人教b版选修 9页

1.2.2　“非”(否定)学习目标　1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．知识点一　逻辑联结词“非”1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二　全称命题的否定写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．全称命题的否定是存在性命题．知识点三　存在性命题的否定写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．存在性命题的否定是全称命题．1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　√　)2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　√　)3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．(　×　)题型一　“綈p”命题的构成与真假判断例1　写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；n(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解　(1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．反思感悟　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1　写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sinx是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解　(1)綈p：y＝sinx不是周期函数．(2)綈p：3≥2.(3)綈p：空集不是集合A的子集．(4)綈p：5是75的约数．题型二　全称命题和存在性命题的否定命题角度1　全称命题的否定例2　写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解　(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思感悟　全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．跟踪训练2　写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；n(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解　(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.命题角度2　存在性命题的否定例3　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解　(1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假)．(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假)．(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．反思感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．跟踪训练3　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．题型三　存在性命题、全称命题的综合应用例4　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，n只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．反思感悟　对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练4　已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明　当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.(2)解　∵f(x)≤4x恒成立，∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，∴即解得a≤－，即实数a的取值范围是.1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是(　　)A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根答案　C解析　命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．2．对下列命题的否定说法错误的是(　　)nA．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案　C解析　“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)A．(綈p)∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∨(綈q)答案　D解析　由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题．4．已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是(　　)A．∃x≤1，logax>0B．∃x>1，logax≤0C．∀x≤1，logax>0D．∀x>1，logax≤0答案　D解析　a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”．5．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案　1解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词；第二步，将结论加以否定．(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．n一、选择题1．下列存在性命题是假命题的是(　　)A．存在实数a，b，使ab＝0B．有些实数x，使得|x＋1|<1C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数D．有些实数x，使得x<0答案　D解析　A是真命题；B是真命题；C是真命题；D是假命题．2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是(　　)A．两个无理数的和必是无理数B．存在一个实数x，使＝0C．至少有一个实数x，使x2<0D．有些实数的倒数等于它本身答案　D解析　A项为全称命题；B项，是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C假；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p是(　　)A．∃x∈R，sinx≥1B．∃x∈R，sinx>1C．∀x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx>1答案　B解析　所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p：∃x∈R，sinx>1，故选B.4．下列命题中，假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案　B解析　对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，故A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当00，log2x>0，命题q：∃x∈R,2x<0，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧qD．p∨(綈q)答案　D解析　当x∈(0,1]时，log2x≤0，∴命题p为假命题．又当x∈R时，2x>0，∴命题q为假命题，∴p∨(綈q)为真命题．7．已知命题p：存在x∈R，有sinx＋cosx＝2；命题q：任意x∈，有x>sinx．则下列命题是真命题的是(　　)A．p且qB．p或(綈q)C．p且(綈q)D．(綈p)且q答案　D解析　由题意知命题p是假命题，命题q是真命题，所以(綈p)且q为真命题．8．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案　C解析　当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于∀x∈R，f(x)≥f(x0)成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题．二、填空题9．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．(填序号)①对任意x∈R，都有x2＜0；②不存在x∈R，使得x2＜0；n③存在x∈R，使得x2≥0；④存在x∈R，使得x2＜0.答案　④解析　全称命题的否定是存在性命题．10．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．答案　[1,2)解析　x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．答案　[3,8)解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题12．已知p：∀a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.(1)写出綈p；(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．解　(1)綈p：∃a∈(0，b](b∈R且b＞0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，所以∀a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，所以0＜b≤2，所以实数b的最大值是2.13．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．解　由已知得綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0.∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，若綈p为真，则∴解得a≤－3，∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．n14．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，下列结论中：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中正确的命题是________．(填序号)答案　②解析　命题p是假命题，因为平面α与平面γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．故①③④错误，②正确．15．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．解　根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．∵∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x∈R，使不等式x2＋ax＋2<0，∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－2，－1]