2019届高三数学最新信息卷（四）理 9页

2019年高考高三最新信息卷理科数学（四）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·金山中学]已知集合，，则（）A．B．C．D．2．[2019·湘钢一中]已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（）A．B．C．D．23．[2019·玉溪一中]若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．4．[2019·凯里一中]已知，则（）A．B．C．D．5．[2019·宁乡一中]函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．[2019·天津一中]设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．7．[2019·天一大联考]已知的图象如图所示，则函数的对称中心可以为（）A．B．C．D．8．[2019·首师附中]秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入，的值分别为4，2，则输出的值为（）nA．5B．12C．25D．509．[2019·济宁一模]已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（）A．B．C．D．10．[2019·牡丹江一中]牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（）种．A．444B．1776C．1440D．156011．[2019·蚌埠质检]已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（）A．B．C．D．12．[2019·湘钢一中]已知，，若对，，使得成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·天一大联考]不等式组，表示的平面区域的面积为________．14．[2019·东北三校]的展开式中的系数是__________．15．[2019·宁乡一中]中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则_________．16．[2019·河南联考]如图，是等腰直角三角形，斜边，为直角边上一点（不含端点），将沿直线折叠至的位置，使得在平面外，若在平面上的射影恰好在线段上，则的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·顺义统考]已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（12分）[2019·山东实验中学]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：（1）根据上述统计数据填下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；n（2）为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励．若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019·西城一模]如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．20．（12分）[2019·凉州二诊]椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．n21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，试判断的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·安庆二模]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位．圆的方程为，被圆截得的弦长为．（1）求实数的值；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，且，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·成都实验中学]已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求的取值范围．n绝密★启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题意得，∴，∴．故选C．2．【答案】D【解析】∵，∴，，即，故选D．3．【答案】B【解析】设向量与的夹角为，∵，的夹角为，且，，∴，，∴，又∵，∴，故选B．4．【答案】D【解析】由题得．故选D．5．【答案】A【解析】∵，∴舍去B，∵，∴舍去D，∵时，，∴，故选A．6．【答案】C【解析】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理知，可知，根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，求得，∴双曲线渐进线方程为，即．故选C．7．【答案】D【解析】由图可知，，，∴，由，，得，故．令，得，则时，．故选D．8．【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得：，，，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，，不满足进行循环的条件，退出循环，输出的值为．故选C．9．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，，∴该长方体的外接球的体积，∴该三棱柱的外接球的体积，故选C．10．【答案】B【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，n∴只需在生、史、地、政四选一有种；然后对语文、外语排课进行分类，第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共种；第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节，其他三科可以全排列，共；∴总共有种．故选B．11．【答案】D【解析】不妨为第一象限中的点，设（）．由抛物线的方程得，则，故，∴，关于准线的对称点为，故，当且仅当，，三点共线时等号成立，故选D．12．【答案】A【解析】∵，，∴，(3舍去)从而，；，；即时，取最小值，因此，使得成立，的最小值，∵在上单调递减，∴的最小值为，因此，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】3【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为，其中，，，∴．故答案为3．14．【答案】【解析】∵，又展开式的通项为，求的展开式中的系数，只需令或，故所求系数为．故答案为．15．【答案】【解析】∵，∴，∵，∴，，∵，∴．16．【答案】【解析】∵在等腰中，斜边，为直角边上的一点，∴，，将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上，设，∴，，，平面，∴，当时，与重合，，当时，，n∵为直角边上的一点，∴，∴的取值范围是．故答案为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公比为．∵，，∴，∴，，∴．（2）由（1）知，∴，，设等差数列的公差为，∵，，∴，，∴，∴，因此，从而数列的前项和．18．【答案】（1）2×2列联表见解析，无的把握；（2）期望为，分布列见解析．【解析】（1）列联表如下图所示：，故没有把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异．（2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为，且，∴，，，，，∴的分布列为∴的数学期望为．19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由底面为平行四边形，知，又∵平面，平面，∴平面．同理平面，又∵，∴平面平面．又∵平面，∴平面．（2）连接，∵平面平面，平面平面，，∴平面．则，又∵，，，∴平面，则，故，，两两垂直，∴以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，为平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，n由，，得，令，得，∴．如图可得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．（3）结论：线段上存在点，使得平面平面，证明如下：设，，∴．设平面的法向量为，又∵，∴，，即，令，得．若平面平面，则，即，解得．∴线段上存在点，使得平面平面，且此时．20．【答案】（1）；（2）存在直线：满足要求．【解析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为．则、、、、，由，即，又，解得，∴椭圆的方程为．（2）∵为的垂心，∴，又，，∴，，设直线：，，，将直线方程代入，得，，，且，又，，，∴，即，由韦达定理得，解得或（舍去）。∴存在直线：使为的垂心．21．【答案】（1）当时，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）1．【解析】（1）函数的定义域为，，令，则，，（i）若，则恒成立，∴在上是增函数，（ii）若，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，当时，，是增函数，（iii）若，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，当时，，是增函数，综上所述：当时，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，∴的极小值为，的极大值为，n设，其中，，∴在上是增函数，∴，∵，∴有且仅有1个，使．∴当时，有且仅有1个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由得，即．直线的普通方程为，被圆截得的弦长为，∴圆心到的距离为，即，解得或．（2）法1：当时，将的参数方程代入圆的直角坐标方程得，，即，由于，故可设，是上述方程的两实根，∴，又直线过点，故由上式及的几何意义得，．法2：当时，点，易知点在直线上．又，∴点在圆外，联立消去得．不妨设、，∴．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，由得，当时，不等式等价于，解得，∴；当时，不等式等价于，即，∴此时不等式无解；当时，不等式等价于，解得，∴．∴原不等式的解集为．（2）．∵原命题等价于，∴，∴为所求实数的取值范围．