2019届高三数学最新信息卷（一）理 10页

2019年高考高三最新信息卷理科数学（一）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（）A．B．C．D．2．[2019·哈六中]是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．[2019·郑州一中]已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．6．[2019·烟台一模]将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（）A．B．C．D．7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A．B．5C．6D．8．[2019·哈六中]实数，满足不等式组，若的最大值为5，则正数的值为（）A．2B．C．10D．9．[2019·镇海中学]已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得n，则的最小值为（）A．B．C．D．10．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．[2019·天津毕业]已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．[2019·上高二中]定义：若数列对任意的正整数，都有，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”中，，绝对公和为3，则其前2019项的和的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在的展开式中，的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数，则_____．15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形中，，则向量在上的投影为______．16．[2019·德州一模]已知函数，，设两曲线，有公共点，且在点处的切线相同，当时，实数的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在中，，．（1）求；（2）若，求的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用，两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为．（1）求的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为，求的分布列和期望．n19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．（1）求；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数，其导函数的最大值n为0．（1）求实数的值；（2）若，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线与曲线，分别交于，两点，设定点，求的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数．（1）若不等式的解集为，且，求实数的取值范围；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．n绝密★启用前2019年高考高三最新信息卷理科数学答案（一）一、选择题．1．【答案】B【解析】复数，复数的共轭复数是，就是复数所对应的点关于实轴对称的点为对应的复数，故选B．2．【答案】A【解析】解得到，假设，一定有，反之不一定，故是成立的充分不必要条件．故答案为A．3．【答案】C【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，因为，所以选项C正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即，所以离心率，故选A．5．【答案】D【解析】当时，，即为，解得；当时，，即为，解得，综上可得，原不等式的解集为，故选D．6．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象，∵所得图象关于轴对称，∴，．∵，即，则当取最小值时，，∴，取，可得，∴函数的解析式为，故选C．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）．8．【答案】A【解析】先由画可行域，发现，所以可得到，且为正数．画出可行域为（含边界）区域．，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距，由图可知在点时截距最大，n解，得，即，此时，解得，故选A项．9．【答案】B【解析】设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B．10．【答案】D【解析】取的中点，连接，，，设，则，，所以，连接，，因为，所以异面直线与所成角即为，在中，，故选D．11．【答案】B【解析】以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，以为直径的圆的方程为，由对称性知的面积，即，即点的纵坐标为，则由，得，因为点在双曲线上，则，即，即，即，即，即，得，即，得，得，．则双曲线的渐近线方程为，故选B．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵，绝对公和，∴或（舍），∴或（舍），∴或（舍），，∴满足条件的数列的通项公式，∴所求值为，故选C．二、填空题．13．【答案】80【解析】的展开式中，通项公式，n令，解得．的系数，故答案为80．14．【答案】【解析】因为，所以．故答案为．15．【答案】【解析】，为的中点，，，，则向量在上的投影为，故答案为．16．【答案】【解析】设，，．由题意知，，，即，，解得：或（舍），代入得：，，，当时，；当时，．实数的最大值是．故答案为．三、解答题．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴．（2）设的内角，，的对边分别为，，．∵，∴，∵，∴，．由余弦定理可得，则，的周长为．18．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，整理得到，即，解得．（2）若2个全是大集团，共有种情况；若2个全是小集团，共有种情况，故全为大集团的概率为．（3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算；；；；，故的分布列为：01234数学期望为．19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，n的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，，因此，，．设，易求得点的坐标为，所以．因为平面，所以．解之得，所以的长为．方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接．依题意易得，，，，，五点共面．因为平面，所以．①在中，，，因此为线段靠近的三等分点．由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，．代入①，得．（2）由（1）方法一可知，是平面的一个法向量且，．设平面的法向量为，则可以为．．因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．于是当直线与轴垂直时，，解得．所以抛物线的方程为．（2）因为抛物线的准线方程为，所以．设直线的方程为，联立消去，得．设，，则，．若点满足条件，则，即，n因为点，，均在抛物线上，所以，，．代入化简可得，将，代入，解得．将代入抛物线方程，可得．于是点为满足题意的点．21．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数的定义域为，其导函数，记，则．当时，恒成立，所以在上单调递增，且．所以，有，故时不成立；当时，若，则；若，则．所以在单调递增，在单调递减．所以．令，则．当时，；当时，．所以在的单减，在单增．所以，故．（2）当时，，则．由（1）知恒成立，所以在上单调递减，且，，不妨设，则，欲证，只需证，因为在上单调递减，则只需证，又因为，则只需证，即．令（其中），且．所以欲证，只需证，，由，整理得，，，所以在区间上单调递增，所以，，所以函数在区间上单调递减，所以有，，故．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所以曲线的极坐标方程为．（2）到射线的距离为，，则．23．【答案】（1）；（2）．n【解析】（1），，，．，，，的取值范围．（2）由题意恒成立，设，，①时，由函数单调性，，，②时，，，，综上所述，的取值范围．