2020版高中数学第二章数列2.2.1等差数列（第2课时）等差数列的性质学案新人教b版 10页

第2课时　等差数列的性质学习目标　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一　等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N＋)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，③d＝(m，n∈N＋，且m≠n)．其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．知识点二　等差数列的性质在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.知识点三　由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N＋){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)1．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．(　√　)2．等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　×　)3．若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　√　)4．若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．(　×　)n题型一　an＝am＋(n－m)d的应用例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.反思感悟　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练1　{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.答案　8解析　方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝＝＝2，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.题型二　等差数列性质的应用例2　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.①n由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N＋；或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13，n∈N＋.引申探究1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？解　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.答案　20解析　∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.反思感悟　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练2　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解　方法一　∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，n∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.方法二　∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，②联立①②解得∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.题型三　等差数列的设法与求解例3　已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．解　设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.由题意可得解得或∵d>0，∴a＝6，d＝2.∴这个数列是4,6,8.反思感悟　设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.跟踪训练3　三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．解　设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得解得或∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.数列问题如何选择运算方法典例　等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.n解　方法一　设{an}的公差为d.则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)＝4a10＝40，∴a10＝10.方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.[素养评析]　等差数列中的计算大致有2条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)A．3B．－6C．4D．－3答案　B解析　由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝＝－6.2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)A．32B．－32C．35D．－35答案　C解析　由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)A．3B．－3C．D．－答案　A解析　由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)A．－182B．－78C．－148D．－82n答案　D解析　a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.答案　30解析　∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.2a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．一、选择题1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　)A．1B．3C．2D．4答案　C解析　因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　)A．45B．75C．180D．300答案　C解析　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)A．12B．8C．6D．4答案　B解析　由等差数列的性质，得na3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.4．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于(　　)A．7B．10C．20D．30答案　C解析　∵a3＋a7－a10＋a11－a4＝a3＋a7＋a11－(a10＋a4)＝3a7－2a7＝a7，∴a7＝21－1＝20.5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)A.B．±C．－D．－答案　D解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.6．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　)A．12B．24C．16D．32答案　A解析　令bn＝，由题意可知b3＝＝，b15＝＝2，则等差数列{bn}的公差d＝＝，则b9＝b3＋(9－3)d＝，所以a9＝9b9＝12，故选A.7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)A．0B．1C．2D．1或2答案　D解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.8．(2018·河南省实验中学期末)已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3n＝80，则a11＋a12＋a13的值为(　　)A．105B．120C．90D．75答案　A解析　由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，所以a1＋a3＝10.又a1a2a3＝80，所以a1a3＝16，所以a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2.又等差数列{an}的公差为正数，所以{an}是递增数列，所以a1＝2，a3＝8，所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝5－2＝3，所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.二、填空题9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________．答案　0解析　设等差数列的公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案　－21解析　设这三个数为a－d，a，a＋d，则解得或∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴这三个数的积为－21.11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．答案　n2＋n解析　第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n.三、解答题12．在等差数列{an}中，n(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－a8；(2)已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.解　(1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.(2)∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.13．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.(1)求a20的值；(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.解　(1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，所以a20＝a3＋17d＝40.(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.由bn>0，即3n－>0，得n>，所以数列{bn}从第7项开始大于0.14．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为__________________．答案　an＝2n－(n∈N＋)解析　由题意得an＋1＋an＝4n－3，①an＋2＋an＋1＝4n＋1，②②－①，得an＋2－an＝4.∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.∴an＝－＋(n－1)×2＝2n－(n∈N＋)．15．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解　因为an＝3n＋2(n∈N*)，bk＝4k－1(k∈N*)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，n所以n＝k－1.而n∈N*，k∈N*，所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.由已知且r∈N*，可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项．