2020版高中数学第二章数列2.2.1等差数列（第1课时）等差数列的概念及通项公式学案 9页

第1课时　等差数列的概念及通项公式学习目标　1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一　等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二　等差中项的概念如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝.思考　下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案　插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).知识点三　等差数列的通项公式若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．(　√　)2．数列3,2,1是等差数列．(　√　)3．数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列．(　×　)4．等差数列{an}中，a1，n，d，an任给三个，可求其余．(　√　)题型一　等差数列的概念例1　判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….n解　由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n≥1，n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列(　　)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列答案　A解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差为2的等差数列．题型二　等差中项例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．解　∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟　在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.题型三　等差数列通项公式的求法及应用例3　在等差数列{an}中，n(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.解　(1)因为解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{an}的公差为d，则解得∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.反思感悟　根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3　(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明　由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得＝＋，即－＝.由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．(2)解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n-1，n∈N＋.n典例2　已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；(2)求{an}的通项公式．解　(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，∴{an}不是等差数列．(2)当n≥2时，an是等差数列，公差为2.当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，又a1＝1不适合上式，∴{an}的通项公式为an＝[素养评析]　(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是(　　)A．1,1,1,1,1B．4,7,10,13,16C.，，1，，D．－3，－2，－1,1,2答案　D2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)A．2B．3C．－2D．－3答案　C解析　由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)A．30°B．60°C．90°D．120°答案　B解析　因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，从而B＝60°.4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　)nA．公差为1的等差数列B．公差为的等差数列C．公差为－的等差数列D．不是等差数列答案　B解析　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是(　　)A．92B．47C．46D．45答案　C解析　d＝－1－1＝－2，设－89为第n项，则－89＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·(－2)，∴n＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　　)A．4B．3C．2D．1答案　D解析　∵a4－a2＝2d＝6－4＝2.∴d＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为(　　)A．52B．62C．－62D．－52答案　An解析　公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝a1＋(20－1)d＝－5＋19×3＝52.3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)A．52B．51C．50D．49答案　A解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)A．26B．29C．39D．52答案　C解析　∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39.5．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)A．15B．22C．7D．29答案　A解析　设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　)A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案　B解析　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　)A.B.C.D.答案　Cn解析　∵b是x,2x的等差中项，∴b＝＝，又∵x是a，b的等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝，∴＝.8．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题意可得＝＋，解得a4＝，故选A.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为__________________．答案　an＝＋1，n∈N＋解析　∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.∴这个等差数列的前三项依次为，，，∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案　解析　设此等差数列为{an}，公差为d，则∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．答案　解析　设an＝－24＋(n－1)d，则解得