2020版高中数学第二章数列章末复习学案新人教b版 8页

第二章数列章末复习学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题．1．等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)递推公式an＋1－an＝d＝q中项由三个数x，A，y组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时A叫做x与y的等差中项，并且A＝如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项，且G＝±通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n项和公式Sn＝＝na1＋d当q≠1时，Sn＝＝，当q＝1时，Sn＝na1性质am，an的关系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N＋，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asatn性质{kn}是等差数列，且kn∈N＋{}是等差数列{}是等比数列n＝2k－1，k∈N＋S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝a判断方法利用定义an＋1－an是同一常数是同一常数利用中项an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝a利用通项公式an＝pn＋q，其中p，q为常数an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n项和公式Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了叠加法和叠乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法．(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想．(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想．题型一　方程思想求解数列问题例1　等差数列{an}各项为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝1且b2S2＝64，{}是公比为64的等比数列，求{an}，{bn}的通项公式．解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有由q(6＋d)＝64知q为正有理数，又由q＝知d为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d＝2，q＝8，故an＝2n＋1，bn＝8n－1.反思感悟　在等比数列和等差数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，nan，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1　记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.解　设数列{an}的公差为d，依题设有即解得或因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋.题型二　转化与化归思想求解数列问题例2　在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式．(1)证明　∵Sn＋1＝4an＋2，①∴当n≥2，n∈N＋时，Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一　对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得＝2－，即＋＝2，即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴数列{cn}是等差数列．由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴c1＝＝，c2＝＝，故公差d＝－＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．方法二　∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝3·2n－1.n∵cn＝，∴cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，c1＝＝，∴{cn}是以为首项，为公差的等差数列．(2)解　由(1)可知数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋(n－1)＝n－，∴an＝(3n－1)·2n－2.∴Sn＋1＝4an＋2＝2n(3n－1)＋2.∴Sn＝2n－1·(3n－4)＋2(n≥2)．当n＝1时，S1＝1＝a1，符合．∴Sn＝2＋(3n－4)·2n－1(n∈N＋)．反思感悟　由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．(1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②n①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三　函数思想求解数列问题命题角度1　借助函数性质解数列问题例3　一个等差数列{an}中，3a8＝5a13，a1>0.若Sn为{an}的前n项和，则S1，S2，…，Sn中没有最大值？请说明理由．解　因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和Sn是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解．设{an}的首项为a1，公差为d，则有3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，所以d＝－a1，所以Sn＝na1＋d＝－n2a1＋na1＝－a1(n－20)2＋a1，故n＝20时，Sn最大，即前20项之和最大．反思感悟　数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝2n－2019，问这个数列前多少项的和最小？解　设an＝2n－2019，对应的函数为y＝2x－2019，易知y＝2x－2019在R上单调递增，且当y＝0时，x＝，因此，数列{an}为单调递增数列，a1009<0，a1010>0，故当1≤n≤1009时，an<0；当n>1009时，an>0.∴数列{an}中前1009项的和最小．命题角度2　以函数为载体给出数列例4　已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.n解　(1)∵an＋1＝f＝＝＝an＋，∴an＋1－an＝，∴{an}是以为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝n＋.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－·＝－(2n2＋3n)．反思感悟　以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．跟踪训练4　设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝________.答案　2n2＋3n解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．又[f(4)]2＝f(1)f(13)，所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)A．6B．7C．8D．9答案　A解析　设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，n∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.2．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为(　　)A．2100－101B．299－101C．2100－99D．299－99答案　A解析　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.3．在等比数列{an}中，已知a2＝4，a6＝16，则a4＝________.答案　8解析　a＝a2a6＝4×16＝64，∴a4＝±8.若a4＝－8，则a＝a2a4＜0.∴a4＝－8舍去．∴a4＝8.4．等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.答案　5解析　log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2…a5)＝log2a，又a1a5＝a＝4，且a3＞0，∴a3＝2.∴log2a＝log225＝5.5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．答案　an＝3n－16　3解析　利用an＝求得an＝3n－16.则nan＝3n2－16n＝3，所以n＝3时，nan的值最小．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．n2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题．