2020版高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用学案新人教b版 12页

§3.4　不等式的实际应用学习目标　1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题．2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．知识点一　不等式模型建立不等式模型解决实际问题的过程：(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)解决数学问题；(4)回归实际问题，写出准确答案．知识点二　常见的不等式模型1．一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响．2．均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)y＝x＋(a＞0)，(2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备．题型一　一元二次不等式的实际应用命题角度1　范围问题例1　国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？解　设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70x·R%万元，其中x＝100－10R.由题意，得70(100－10R)·R%≥112，n整理，得R2－10R＋16≤0.因为Δ＝36＞0，所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．所以当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．反思感悟　解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数．(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)解所列出的不等式(组)．(4)结合问题的实际意义写出答案．跟踪训练1　某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解　如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为AB＝400，∠BAx＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，xh后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处，由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式，得3.75≤x≤6.25，A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5，故在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.命题角度2　最值问题例2　甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．n(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；(2)设f(x)＝＋10，g(x)＝＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解　(1)f(0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g(0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当成立．故y≥(＋20)＋10，则4y－－60≥0，所以(－4)(4＋15)≥0，得≥4，故y≥16，x≥＋20≥24，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．反思感悟　与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值．(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系．(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．跟踪训练2　已知不等式sin2x－2asinx＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解　设f(x)＝sin2x－2asinx＋a2－2a＋2，则f(x)＝(sinx－a)2＋2－2a.当a<－1时，f(x)在sinx＝－1时取到最小值，且f(x)min＝a2＋3，a2＋3>0显然成立，∴a<－1.当－1≤a≤1时，f(x)在sinx＝a时取到最小值，且f(x)min＝2－2a，由2－2a>0，解得a<1，∴－1≤a<1.当a>1时，f(x)在sinx＝1时取到最小值，且f(x)min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，∴a>3.综上所述，a的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．题型二　均值不等式的实际应用例3　某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．n(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解　(1)设铁栅长为xm，一侧砖墙长为ym，则有S＝xy.由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3200.由均值不等式，得3200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，∴S＋6≤160，即(＋16)(－10)≤0.∵＋16>0，∴－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允许值是100m2.(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15m.反思感悟　(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．跟踪训练3　把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为(　　)A．4B．8C．16D．32答案　B解析　设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,0320，即x2－28x＋192<0，解得121.5即满足条件，∴(－n2＋15n－9)>1.5，解得60，即f(x)在[20，＋∞)上单调递增．故当t＝20时，y2取最小值为1451元<1521元，从而知该食堂应接受价格优惠条件．n