2020版高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习学案新人教b版选修 11页

第三章空间向量与立体几何章末复习学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律.3.会用向量法解决立体几何问题．1．空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cosθ＝线面夹角l，α的夹角为θ，sinθ＝面面夹角α，β的夹角为θ，cosθ＝2.用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论．关键点如下：(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题．(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何n转化也是这类问题解决的关键．1．向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等．(　×　)2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为.(　√　)3．两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　√　)4．若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　×　)题型一　空间向量及其运算例1　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.其中正确结论的序号是________．答案　③④解析　容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2·cos∠ASB，·＝2×2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·n，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.反思感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．跟踪训练1　如图，在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.解　连接AN，则＝＋，由已知ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b，又M分成的比为，故＝－＝－(a＋b)．由已知，N分成的比为2，故＝＋＝－＝－＝(c＋2b)．于是＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)．题型二　利用空间向量解决位置关系问题例2　在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.证明　如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.n设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E.(1)＝，＝(a，a,0)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝，因为·n＝(a,0，－b)·＝0，所以⊥n，故PC∥平面EBD.(2)由题意得平面PDC的法向量为＝(0，a,0)，又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)，设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，所以m＝，因为·m＝(0，a,0)·＝0，所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.反思感悟　(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．(3)证明面面平行的方法①转化为线线平行、线面平行处理．②证明这两个平面的法向量是共线向量．(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．(5)证明线面垂直的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．(6)证明面面垂直的方法n①转化为证明线面垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练2　正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明　如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.∴＝(1,0,0)＝，＝，＝.设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，由得令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．又由得令z2＝1，得n＝(0,2,1)．∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m⊥n，∴平面AED⊥平面A1FD1.题型三　利用空间向量求角例3　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．解　(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，故CD⊥平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.(2)如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.n设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)，由⊥，得8－h2＝0，h＝2.故＝(－2,0,2)，＝(0,0,2)，＝(0，，0)．设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取z1＝1，得m＝(，0,1)．设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.所以二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为.反思感悟　用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n，a〉|，求θ.(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．跟踪训练3　如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝nBE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．方法一　(1)证明　如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD.由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)解　如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，n则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，由得取z＝2，得n＝(2，－1,2)．从而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.方法二　(1)证明　如图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)同方法一．1．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)A.B.C.D.答案　An解析　在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝(＋)，从而＋(＋)＝＋＝.故选A.2．在以下命题中，不正确的个数为(　　)①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．1答案　C解析　①由|a|－|b|＝|a＋b|，得a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由向量的数量积的性质知，不正确．3．(2018·安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为n＝(2,2，－2)，则α与β的关系为________．考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面平行答案　平行解析　由n·＝0，n·＝0，故n也是平面α的一个法向量，又点A不在平面β内，故α∥β.4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．答案　x＋y＋z＝0解析　·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，E，F分别在AC和AB上，且EF∥CB.将它沿EF折起，且平面AEF⊥平面EFBC，且四棱锥A－EFBC的体积为2.n(1)求EF的长；(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值．解　(1)因为EF∥CB，∠ACB＝90°，所以CE⊥EF，AE⊥EF.又平面AEF⊥平面EFBC，平面AEF∩平面EFBC＝EF，AE⊥EF，AE⊂平面AEF，所以AE⊥平面EFBC.设EF＝x，由于EF∥BC，AC＝4，BC＝2，在图1中，所以＝，即AE＝＝＝2x.VA－EFBC＝S梯形EFBC·AE＝×(x＋2)(4－2x)×2x＝，x∈(0,2)．由题意得＝2，即x3－4x＋3＝0，即(x－1)(x2＋x－3)＝0，所以x＝1或x＝，即EF＝1或EF＝.(2)以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，n因为EF＝1，则A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0)．＝(0,2，－2)，＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)．设平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，由得令z＝1，则x＝2，y＝－1，所以n＝(2，－1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝＝.所以直线AC与平面ABF夹角的正弦值为.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．