2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式学案新人教b版 11页

1．3.2　命题的四种形式学习目标　1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题．知识点一　四种命题的概念四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二　四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(　×　)n2．两个互逆命题的真假性相同．(　×　)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(　√　)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(　√　)题型一　四种命题的概念例1　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．解　(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．反思感悟　四种命题的写法(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．跟踪训练1　写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若sinα＝，则tanα＝；(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；(4)当1bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．(填序号)考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　①②解析　①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②.反思感悟　要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练2　按要求写出下列命题并判断真假．(1)“正三角形都相似”的逆命题；(2)“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；n(3)“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假解　(1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．(2)原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，故为真命题．题型三　等价命题的应用例3　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解　方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥＞1，所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．解　先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，所以a<.n所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．反思感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练3　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(　　)A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∉A答案　B解析　命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是(　　)A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2bB．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2bC．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列考点　四种命题的相互关系题点　四种命题相互关系的应用答案　D解析　命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．3．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；n②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；③当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．考点　四种命题的相互关系题点　四种命题相互关系的应用答案　②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤解析　命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．5．已知命题“若m－12，则a>1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．4考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　C解析　“若a>2，则a>1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．n又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.5．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为(　　)A．①②B．②③C．①③D．③④考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　C解析　命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是(　　)A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”答案　B解析　如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．7．下列说法错误的是(　　)A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”答案　C解析　C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)A．原命题真，逆命题假nB．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　A解析　因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.二、填空题9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中正确的是________．(填序号)答案　①②解析　原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．答案　1解析　原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.11．给定下列命题：①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．其中真命题的序号是________．考点　四种命题的真假判断题点　利用四种命题的关系判断真假答案　①n解析　显然①为真；②为假；对于③，原命题“若x－是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．三、解答题12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.解　(1)逆命题：当mx2－x＋1＝0无实根时，m>，真命题；否命题：当m≤时，mx2－x＋1＝0有实根，真命题；逆否命题：当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤，真命题．(2)逆命题：当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0，真命题；否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0，真命题；逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0，真命题．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解　方法一　(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二　(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，求实数m的取值范围．n考点　题点　解　由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或∴0≤m≤2.15．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？考点　四种命题间的相互关系题点　利用四种命题的关系判断真假解　由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，即x＜或x＞.由＞0，得2x2－3x＋1＞0，解得x＜或x＞1.为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需AB.令a＝4，得p：x＜－或x＞1，满足题意，故可以选取a＝4，此时原命题是“若|5x－1|＞4，则＞0”．