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- 2022-04-13 发布
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阶段训练三(范围：§2.1～§2.3)一、选择题1．方程＋＝1所表示的曲线是( )A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案 D解析 ∵sinθ－1<0,2sinθ＋3>0，∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．2.如图所示，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为( )A．e1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1答案 An解析 ∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案 C解析 由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，即r＝c，而r＝|OP|＝5.渐近线方程为y＝±x，点P(3,4)在直线y＝x上，所以解得所以双曲线方程为－＝1.5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2，则C的实轴长为( )A．1B．2C．4D．8考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 B解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，①∵抛物线的方程为y2＝8x，∴2p＝8，p＝4，∴＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－2.设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2的两个交点为A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2，∴y＝.将x＝－2，y＝代入①，得(－2)2－()2＝λ，即λ＝1，∴等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，n∴C的实轴长为2.6．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于( )A.B．2C.D．4考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 C解析 ∵抛物线方程为y2＝x，∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，∴直线AB过抛物线焦点，∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.二、填空题7．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________．答案 2x2－2y2＝1解析 椭圆的焦点为(±1,0)，∴双曲线的焦点为(±1,0)，设双曲线的方程为－＝1，椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，∴c2＝1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.8．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．答案 y2＝8x解析 依题意得|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，n△AOF的面积等于|AO||OF|＝＝4，则a2＝64.又a>0，所以a＝8，所以抛物线的方程是y2＝8x.9.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为________．答案 －1解析 设椭圆的左焦点为F′，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF′，∴F，F′，可得焦距|FF′|＝p＝2c(c＝，为椭圆的半焦距)．对抛物线方程y2＝2px，令x＝，得y2＝p2，所以|AF|＝|yA|＝p.∴在Rt△AFF′中，|AF|＝|FF′|＝p，可得|AF′|＝p，再根据椭圆的定义，可得|AF|＋|AF′|＝2a＝(1＋)p，∴该椭圆的离心率为e＝＝＝＝－1.10．点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.答案 3解析 根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，联立消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，n解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3.11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y＝±x解析 抛物线的准线方程为y＝－，焦点为F，∴a2＋2＝c2.①设抛物线的准线y＝－交双曲线于M，N两点，∴即－＝1，解得x＝±a，∴2a＝2c.②又∵b2＝c2－a2，③∴由①②③，得＝2.∴＝－1＝1，解得＝1.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.三、解答题12．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4，0)，B(4,0)．(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程．解 (1)∵A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，根据椭圆的定义，|CA|＋|CB|＝16＝2a，n∴a＝8.在椭圆中，b2＝a2－c2＝64－16＝48，∴椭圆方程为＋＝1.(2)∵A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，根据双曲线的定义，|CA|－|CB|＝4＝2a′，∴a′＝2.在双曲线中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12，∴双曲线方程为－＝1.13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0，)，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P，且与直线x＝4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0)．(1)解 由已知，可得∴a2＝4，∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明 联立方程＋＝1与y＝kx＋m，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.∵曲线E与直线只有一个公共点，∴Δ＝0，化简可得m2＝4k2＋3，故m≠0.设P(xP，yP)，故xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，故P.又由得Q(4,4k＋m)．∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)，∴·＝3＋－－3＝0，∴⊥，n∴以PQ为直径的圆过定点N(1,0)．14．若点M(1,2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．答案 8－2解析 设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，当且仅当A，B，M三点共线时等号成立，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝＝2，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－2.15．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．解 (1)设椭圆的方程为＋＝1，则b＝1.又焦点F(c,0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，∴＝3，∴|c＋2|＝3，∵c＞0，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由消去y，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＞0，即m2＜3k2＋1.①(i)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM，xN分别为点M，N的横坐标，则xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝，nkAP＝＝－，又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.则－＝－，即2m＝3k2＋1，②将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2＝＞0，解得m＞，故所求的m的取值范围是.(ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，由m2＜3k2＋1，解得－1＜m＜1.综上所述，当k≠0时，m的取值范围是，当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．
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