2020版高中数学阶段训练五新人教b版选修 8页

阶段训练五(范围：§3.1)一、选择题1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形答案　A解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四边形ABCD为平行四边形，故选A.2．下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)A.＋＝B.－＝C.＝D．||＝||答案　C解析　由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A，B，C三点共线．3．(2018·吉林期中)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　)A．(2,5,0)B．(－4，－1，－6)或(2,5,0)C．(3,4,1)D．(3,4,1)或(－3，－2，－5)考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算答案　B解析　设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1,1,1)，∴解得或∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．4．(2018·浙江舟山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)nA.a－b＋cB.a－b－cC.a－b＋cD.a－b＋c考点　空间向量基底的概念题点　空间向量基本定理答案　C解析　由E为PD的中点知，＝(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋(－)＋(－)＝－＋＋＝a－b＋c.5．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则·等于(　　)A．0B.C．－D．－考点　空间向量的数量积的概念与性质题点　利用定义求数量积答案　D解析　·＝(＋)·n＝·＋·－·－||2＝cos60°＋cos60°－cos60°－＝－.6．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　)A．2，B．－，C．－3,2D．2,2答案　A解析　由题意知解得或7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AB的中点，则sin〈，〉等于(　　)A.B.C.D.考点　空间向量在求空间角中的应用题点　空间向量求线线角答案　B解析　如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，M，∴＝(1,1,1)，＝.∴cos〈，〉＝＝＝，n∴sin〈，〉＝.8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)答案　A解析　设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．二、填空题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.考点　空间向量的加减运算题点　空间向量的加减运算答案　解析　∵＝＋＋，∴∴∴x＋y＋z＝.10．(2018·晋中模拟)已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝________.考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算答案　－81解析　因为2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1,1，－4)＝(1，－5,8)，a＋2b＝(2，－1，－2)＋2(1,1，－4)＝(4,1，－10)，所以(2a－3b)·(a＋2b)＝(1，－5,8)·(4,1，－10)＝－81.11．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．考点　空间向量数量积的应用题点　空间向量数量积的综合应用答案　解析　如图，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，可求得AM＝，BM＝，CN＝n，DN＝，MN＝1.∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝2＋12＋2＋0＝，∴||＝.三、解答题12．(2018·菏泽模拟)已知向量a＝(2,1，－2)，c＝(－1，0,1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直．(1)求向量b的坐标；(2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值．考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算解　(1)设b＝(x，y，z)，则由题意可知解得或∴b＝(2，－1,2)或b＝(－2，－1，－2)．(2)∵向量b与向量d＝共线，∴b＝(2，－1,2)．又∵a＝(2,1，－2)，c＝(－1,0,1)，∴a－b＝(0,2，－4)，2b＋3c＝(1，－2,7)，∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32，且|a－b|＝2，|2b＋3c|＝3，∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为cos〈a－b,2b＋3c〉＝＝－.13.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．n(1)证明　设＝a，＝b，＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.14.空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)A．(2,3,3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)D．(－5,2，－1)考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算答案　B解析　如图，取AC的中点M，连接ME，MF，n则＝＝，＝＝，从而＝－＝(－2，－3，－3)．15.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ＝.则AB与BC的边长之比为________．答案　∶2解析　设AB＝a，BC＝b，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)．所以＝，＝(0，－a，b)，所以||＝，||＝，·＝－，n|cos〈，〉|＝＝，整理，得4＋5－26＝0，解得＝2或＝－(舍去)．所以＝＝.