江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.3大题考法—解三角形讲义 15页

第三讲大题考法——解三角形题型(一)三角变换与解三角形的综合问题主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小　(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.[典例感悟][例1]　(2018·南京学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝.(1)若c＝2a，求的值；(2)若C－B＝，求sinA的值．[解]　(1)法一(角化边)：在△ABC中，因为cosB＝，所以＝.因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝.又由正弦定理得，＝，所以＝.法二(边化角)：因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝.因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC.又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，所以＝.n(2)因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝.又0＜B＜π，所以sinB＝＝，所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，所以sinA＝sin＝sincos2B－cossin2B＝×－×＝.[方法技巧]三角变换与解三角形综合问题求解策略(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC,以及在△ABC中，A>B⇔sinA>sinB等．[演练冲关]1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C＝csinB.(1)求角C；(2)若sin＝，求sinA的值．解：(1)由正弦定理及bsin2C＝csinB，得2sinBsinCcosC＝sinCsinB，n因为sinB>0，sinC>0，所以cosC＝，又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为C＝，所以B∈，所以B－∈，又sin＝，所以cos＝＝.又A＋B＝，即A＝－B，所以sinA＝sin＝sin＝sin·cos－cossin＝×－×＝.2．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)求cos的值．解：(1)因为cosB＝，0＜B＜π，所以sinB＝＝＝.由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cosn＝－cosBcos＋sinBsin.又cosB＝，sinB＝，故cosA＝－×＋×＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝.因此，cos＝cosAcos＋sinAsin＝－×＋×＝.题型(二)解三角形与平面向量结合主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.[典例感悟][例2]　(2018·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S,3·＝2S.(1)求sinA的值；(2)若C＝，·＝16，求b.[解]　(1)由3·＝2S，得3bccosA＝2×bcsinA，即sinA＝3cosA.整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，所以sin2A＝.又A∈(0，π)，所以sinA>0，故sinA＝.(2)由sinA＝3cosA和sinA＝，n得cosA＝，又·＝16，所以bccosA＝16，得bc＝16.①又C＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，即c＝b.②联立①②得b＝8.[方法技巧]解三角形与平面向量综合问题的求解策略(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．[演练冲关]1．(2018·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.(1)求A－B的值；(2)若cosB＝，AC＝8，求BC的长．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝coscosB＋sinsinB＝cos＝0，又A，B∈，所以A＋－B∈，所以A＋－B＝，即A－B＝.n(2)因为cosB＝，B∈，所以sinB＝.所以sinA＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝×＋×＝.由正弦定理，得BC＝×AC＝×8＝4＋3.2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(1,2)，n＝，且m·n＝1.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，求sin的值．解：(1)由题意得m·n＝2cos2A－1＋cosA＋1＝2cos2A＋cosA＝1，解得cosA＝或cosA＝－1，∵0