江苏省2019届高考数学专题八二项式定理与数学归纳法（理）8.2数学归纳法讲义 16页

第二讲数学归纳法题型(一)用数学归纳法证明等式主要考查利用数学归纳法证明与正整数有关的代数等式.[典例感悟][例1]　设|θ|<，n为正整数，数列{an}的通项公式an＝sintannθ，其前n项和为Sn.(1)求证：当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tannθ；(2)求证：对任何正整数n，S2n＝sin2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]．[证明]　(1)因为an＝sintannθ.当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，an＝a2k＝sintan2kθ＝sinkπ·tan2kθ＝0，an＝0.当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，an＝a2k－1＝sintannθ＝sin·tannθ.当k＝2m，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝－tannθ，此时＝2m－1，an＝a2k－1＝－tannθ＝(－1)2m－1·tannθ＝(－1)tannθ.当k＝2m－1，m∈N*时，an＝a2k－1＝sin·tannθ＝sin·tannθ＝tannθ，此时＝2m－2，an＝a2k－1＝tannθ＝(－1)2m－2·tannθ＝(－1)tannθ.综上，当n为偶数时，an＝0；当n为奇数时，an＝(－1)tannθ.(2)当n＝1时，由(1)得，S2＝a1＋a2＝tanθ，等式右边＝sin2θ(1＋tan2θ)＝sinθ·cosθ·＝tanθ.n故n＝1时，命题成立，假设n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即S2k＝sin2θ·[1＋(－1)k＋1tan2kθ]．当n＝k＋1时，由(1)得：S2(k＋1)＝S2k＋a2k＋1＋a2k＋2＝S2k＋a2k＋1＝sin2θ·＋(－1)ktan2k＋1θ＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·[1＋(－1)k＋2·tan2k＋2θ]．即当n＝k＋1时命题成立.综上所述，对任何正整数n，S2n＝sin2θ·[1＋(－1)n＋1tan2nθ]．[方法技巧](1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．[演练冲关](2018·苏州期末)在正整数集N*上定义函数y＝f(n)，满足f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，且f(1)＝2.(1)求证：f(3)－f(2)＝；(2)是否存在实数a，b，使得f(n)＝＋1对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．解：(1)证明：由f(n)[f(n＋1)＋1]＝2[2－f(n＋1)]，变形得f(n＋1)＝.n由f(1)＝2，得f(2)＝，再得f(3)＝.所以f(3)－f(2)＝－＝.(2)法一：(数学归纳法)由f(2)＝，f(3)＝，可得a＝－，b＝.猜想：对n∈N*，均有f(n)＝＋1.以下用数学归纳法证明．①当n＝1时，等式显然成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即f(k)＝＋1.则f(k＋1)＝＝＝＝＋1，f(k)≠1，否则f(2)＝…＝f(k)＝1，但f(2)≠1.即f(k＋1)＝＋1＝＋1.即n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n∈N*，均有f(n)＝＋1.综上所述，存在a＝－，b＝满足题意．法二：(转化法)因为f(n)＝＋1可变形为＋b＝an，所以问题转化为：是否存在实数a，b，使得是公比为－的等比数列．证明如下：由(1)得f(n＋1)＝，n即f(n＋1)－1＝，所以＝＝＝－－·.设＋b＝－，可得b＝.所以是首项为＋＝，公比为－的等比数列．通项公式为＋＝n－1，所以f(n)＝＋1.综上所述，存在a＝－，b＝满足题意.题型(二)用数学归纳法证明不等式主要考查用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.[典例感悟][例2]　(2018·南京模拟)已知数列{an}满足an＝3n－2，函数f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N*.(1)求证：g(2)＞；(2)求证：当n≥3时，g(n)＞.[证明]　(1)由题意知，an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞.故结论成立．(2)用数学归纳法证明：①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＞＋＋n＝＋＋＞＋＋＞，所以当n＝3时，结论成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，结论成立，即g(k)＞，则当n＝k＋1时，g(k＋1)＝g(k)＋＋＋…＋－＞＋＋＋…＋－＞＋－＝＋＝＋，由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即g(k＋1)＞.所以当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，g(n)＞.[方法技巧](1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k(k∈N*)成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．[演练冲关]设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的和，其中x＞0，n∈N，n≥2.(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，则Fn(1)＝n－1＞0，Fn＝1＋＋2＋…＋n－2n＝－2＝－＜0，所以Fn(x)在内至少存在一个零点．又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，即－2＝0，故xn＝＋x.(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，gn(x)＝，x＞0.当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．那么，当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝.又gk＋1(x)－＝，令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，则h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1·(x－1)．　所以当0＜x＜1时，h′k(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；当x＞1时，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．n所以hk(x)＞hk(1)＝0，从而gk＋1(x)＞.故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．综上可知，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，对一切n≥2的整数，fn(x)0，∴an＋1＝.(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1；当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2；当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a30，即证＋2>0，显然成立．∴n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，an