2020版高中数学第二章椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案新人教b版 14页

第1课时　椭圆的几何性质学习目标　1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一　椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＝)|F1F2|＝2c(c＝)性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二　椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率．2．性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆．1．椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制．(　√　)2．椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　√　)3．椭圆的焦距越大椭圆就越扁．(　×　)4．椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁．(　√　)n题型一　椭圆的几何性质例1　已知椭圆方程为9x2＋16y2＝144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解　已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．反思感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，又e＝，即＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1.∴椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，又e＝，即＝，∴m＝，a＝，c＝.∴椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为F1，F2n，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．题型二　利用几何性质求椭圆的标准方程例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴长2，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(3)过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有公共焦点．考点　由椭圆的几何性质求方程题点　由椭圆的几何特征求方程解　(1)由2b＝2，e＝＝，得b2＝5，＝，a2＝9.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.(3)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)．n又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟　(1)此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得∴椭圆方程为＋＝1.同理可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求的椭圆方程为＋＝1.题型三　求椭圆的离心率例3　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案　－1解析　方法一　如图，n∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，∴|NF1|＝＝＝c，则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.方法二　由题意知，在焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝＝＝－1.反思感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．跟踪训练3　已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为________．答案　解析　如图所示，∵∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，n∴△ABF2是等边三角形，∴△ABF2的周长＝3|AF2|＝4a，∴|AF2|＝，∴|AF1|＝.在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝2＋2－2×××cos60°，化为a2＝3c2，解得e＝＝.求离心率的取值范围典例　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．考点　椭圆的离心率问题题点　求离心率的取值范围答案　解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.离心率e＝＝＝＝∈.[素养评析]　(1)根据一定的条件求离心率的取值范围，难点是建立关于a，b，c的关系式，最后转化为关于e的关系式．(2)探究运算思路，选择运算方法有助于促进数学思维发展，提升学生的数学运算素养．n1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)答案　D2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1.∴c2＝－＝，∴e2＝，又0＜e＜1，∴e＝.3．设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案　[－5,5]4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．答案　＋＝1解析　据题意a＝5，c＝3，故b＝＝4，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．考点　椭圆几何性质的应用题点　求椭圆离心率的值答案　解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．又因为a2－b2＝c2，所以a＝5，c＝4，故e＝＝.n1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．一、选择题1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．7,2，B．14,4，C．7,2，D．14,4，答案　B解析　先将椭圆方程化为标准形式＋＝1，其中b＝2，a＝7，c＝3.2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有(　　)A．相同短轴B．相同长轴C．相同离心率D．以上都不对答案　D解析　因为在椭圆＋＝1中，焦点的位置不确定，所以无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是(　　)A.B.C.D．－答案　C解析　椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴n长2a＝.4．设椭圆中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，点P在椭圆上，若椭圆的离心率为，△PF1F2的周长为12，则椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　B解析　由题意知＝，①2a＋2c＝12，②由①②可知，a＝4，c＝2，∴b＝＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.5．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意有2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b，整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．6．椭圆＋＝1和＋＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有(　　)A．相同的顶点B．相同的离心率C．相同的焦点D．相同的长轴和短轴答案　B解析　不妨设a＞b＞0，则椭圆＋＝k的离心率e2＝＝.n而椭圆＋＝1的离心率e1＝，故B正确．7．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.考点　椭圆性质的应用题点　求椭圆的离心率答案　C解析　由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，则kOP＝－，kAB＝－，∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.把P代入椭圆方程，得＋＝1，∴2＝，∴e＝＝.二、填空题8．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．答案　＋＝1或＋＝1解析　由题意可知a＝2b，c＝1，所以1＋b2＝4b2，故b2＝，a2＝，则此椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.9．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．答案　解析　由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.三、解答题12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．n解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0.∵m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝，得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值．考点　题点　解　由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵·＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连接PA(如图)，则||＝＝，∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.n14．设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是(　　)A．98aB．99aC．100aD．101a考点　椭圆几何性质的应用题点　利用椭圆的性质求值答案　D解析　由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|＋|F1P99|＝|F1P2|＋|F1P98|＝…＝|F1P49|＋|F1P51|＝|F1A|＋|F1B|＝2a，|F1P50|＝a,50×2a＋|F1P50|＝101a.15．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4n＝＋＋4(0＜x≤4)．因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.