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- 2022-04-13 发布
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2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.知识点一 坐标法的思想1.坐标法:借助于坐标系,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.2.解析几何研究的主要问题:(1)通过曲线研究方程:根据已知条件,求出表示曲线的方程.(2)通过方程研究曲线:通过曲线的方程,研究曲线的性质.知识点二 求曲线的方程的步骤1.建系:建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.2.写集合:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.3.列方程:用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0.4.化简:化方程F(x,y)=0为最简形式.5.结论:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.1.求曲线方程的关键是建立坐标系,而坐标系的建立通常是唯一的.( × )2.求曲线方程的步骤不可以省略.( × )3.按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验.( × )题型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解 设P(x,y),则|8-x|=2|PA|.则|8-x|=2,化简,得3x2+4y2=48,故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=48.引申探究若将本例中的直线改为“y=8”,求动点P的轨迹方程.解 设P(x,y),n则P到直线y=8的距离d=|y-8|,又|PA|=,故|y-8|=2,化简,得4x2+3y2-16x+16y-48=0.故动点P的轨迹方程为4x2+3y2-16x+16y-48=0.反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系;②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明.特别提醒:直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知在Rt△ABC中,角C为直角,点A(-1,0),点B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程.解 如图,设C(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y).∵∠C为直角,∴⊥,即·=0.∴(x+1)(x-1)+y2=0.化简得x2+y2=1.∵A,B,C三点要构成三角形,∴A,B,C不共线,∴y≠0,∴点C的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).题型二 相关点法求曲线的方程例2 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.解 设P(x,y),M(x0,y0),因为P为MB的中点,所以即又因为M在曲线x2+y2=1上,n所以(2x-3)2+4y2=1.所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.反思感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x,y),相关动点M(x0,y0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理,得所求轨迹方程.跟踪训练2 对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=2,则原来曲线C的方程是( )A.xy=-1B.xy=1C.y2-x2=2D.y2-x2=1考点 题点 答案 A解析 设平面内曲线C上的点P(x,y),则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′,∵点P′在曲线x2-y2=2上,∴2-2=2,整理得xy=-1.题型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M(1,2)的直线与曲线y=(a≠0)有两个不同的交点,且这两个交点的纵坐标之和为a,求a的取值范围.解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时,不可能与曲线有两个公共点.故设直线方程为y-2=k(x-1)(k≠0),联立方程,得消去x,得y2-(2-k)y-ka=0.①n当此方程有两个不同的根,即方程组有两个不同的解时,直线与曲线有两个不同的交点.∴Δ=[-(2-k)]2+4ka>0.设方程①的两根分别为y1,y2,由根与系数的关系,得y1+y2=2-k.又∵y1+y2=a,∴k=2-a,代入Δ>0中,得a2+4a(2-a)>0,解得00时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.4.已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________.答案 x=解析 设动点P(x,y),则=,化简整理得x=.5.若动点P在y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程是什么?解 设PQ的中点为M(x,y),且P(x0,y0),则∴又∵点P在y=2x2+1上,∴y0=2x+1,即2y+1=8x2+1,即y=4x2为所求的轨迹方程.求解轨迹方程常用方法n(1)直接法:直接根据题目中给定的条件求解方程.(2)定义法:依据有关曲线的性质建立等量关系,从而确定其轨迹方程.(3)代入法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法:将x,y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法.(5)待定系数法:根据条件能知道曲线的类型,可先根据曲线方程的一般形式设出方程,再根据条件确定待定的系数.一、选择题1.平面内有两定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|+|=4,则点P的轨迹是( )A.线段B.半圆C.圆D.直线答案 C解析 以AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),则+=2=2(-x,-y).∴x2+y2=4.2.下列各组方程中表示相同曲线的是( )A.y=x,=1B.y=x,y=C.|y|=|x|,=D.|y|=|x|,y2=x2答案 D解析 A中,y=x表示一条直线,而=1表示直线y=x,除去点(0,0);B中,y=x表示一条直线,而y=表示一条折线;C中,|y|=|x|表示两条直线,而=表示一条射线;D中,|y|=|x|和y2=x2均表示两条相交直线.故选D.3.如图所示的图象对应的方程是( )A.|x|-y=0nB.-1=0C.x-|y|=0D.-1=0答案 C解析 据图,当x>0,y>0时,y=x;当x>0,y<0时,y=-x;当x=0时,y=0.只有选项C符合要求,故选C.4.已知点A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是( )A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=1(x≠±1)D.x2+y2=2(x≠±)答案 A解析 设动点M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y).由·=0,得(-1-x)(1-x)+(-y)·(-y)=0,即x2+y2=1.5.在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点的轨迹方程是( )A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)答案 C解析 易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因为△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.故选C.6.与点A(-1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程是( )A.x2+y2=1B.x2+y2=1(x≠±1)C.y=D.x2+y2=9(x≠0)答案 B解析 设P(x,y),则kPA=,kPB=,所以kPA·kPB=·=-1.整理得x2+y2=1,又kPA,kPB存在,所以x≠±1.所以所求轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1).7.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于( )nA.2B.8C.4D.10答案 C解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A,B,C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,故选C.8.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为( )A.x2+y2=2B.y2-x2=2C.x2-2y2=1D.2x2-y2=1答案 B解析 设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y),=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),·=x2-2+y2.由·=22,得x2-2+y2=2x2,所以所求动点P的轨迹方程为y2-x2=2.二、填空题9.点A(1,-2)在曲线x2-2xy+ay+5=0上,则a=________.答案 5解析 由题意可知点(1,-2)是方程x2-2xy+ay+5=0的一组解,即1+4-2a+5=0,解得a=5.10.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为__________.答案 x2=4y解析 设动点C(x,y),根据题意可知,点C到点A的距离与到直线l1:y=-1的距离相等,所以=|y+1|,两边平方整理得x2=4y.n11.已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的一动点,过点P作l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹方程是________.答案 y2=4x(x≥0)解析 设点P(x,y),则Q(-1,y).由·=·,得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),所以2(x+1)=-2(x-1)+y2,化简得y2=4x(x≥0).三、解答题12.在平面直角坐标系中,已知点F(0,2),一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.解 设点M(x,y)是所求曲线上任意一点,因为曲线在x轴的上方,所以y>0.过点M作MB⊥x轴,垂足是点B,则|MF|-|MB|=2,即-y=2,整理得x2+(y-2)2=(y+2)2,化简得y=x2,所以所求曲线的方程是y=x2(x≠0).13.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.n而kPA=(x≠1),kPB=,∴·=-1(x≠1),整理,得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.过点P(0,1)的直线与曲线|x|-1=相交于A,B两点,则线段AB长度的取值范围是____________.答案 [2,4]解析 曲线|x|-1=可化为图象如图所示,则线段AB长度的取值范围是[2,4].15.如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|=|PN|.求动点P的轨迹方程.解 以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知|PM|=|PN|,∴|PM|2=2|PN|2.又∵两圆的半径均为1,∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.n∴所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0)