2020版高中数学第三章不等式3.5.2简单线性规划（第1课时）简单线性规划（一）学案（含解析 15页

第1课时　简单线性规划(一)学习目标　1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义．引例　已知x，y满足条件①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x＋3y②的最大值．以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念．知识点一　线性约束条件及目标函数1．在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．2．在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．知识点二　可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．知识点三　线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”．(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；n(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值．1．可行解是可行域的一个元素．(　√　)2．最优解一定是可行解．(　√　)3．目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距．(　×　)4．当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大．(　×　)题型一　求线性目标函数的最值例1　已知x，y满足约束条件该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x＋3y的最大值．解　设区域内任一点P(x，y)，z＝2x＋3y，则y＝－x＋，这是斜率为－，在y轴上的截距为的直线，如图．由图可以看出，当直线y＝－x＋经过直线x＝4与直线x＋2y－8＝0的交点M(4,2)时，截距的值最大，此时2x＋3y＝14.反思感悟　(1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误．n(2)作可行域时要注意特殊点与边界．(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反．跟踪训练1　(2018·北京)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．答案　3解析　由条件得即作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z＝2y－x，即y＝x＋z，作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.题型二　已知线性目标函数的最值求参数例2　已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．答案　(1，＋∞)解析　作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组得即C(3,1)，目标函数为z＝ax＋y(a>0)，由题意可知，当直线y＝－ax＋z经过点C时，z取得最大值，∴－a0，则当截距最大时，z取得最大值，当截距最小时，z取得最小值；若b<0，则当截距最大时，z取得最小值，当截距最小时，z取得最大值．跟踪训练2　在本例条件下，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的值为________．答案　1解析　如上例中图形，若使z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，所以－a＝kCD，即－a＝－1，此时a＝1.题型三　求非线性目标函数的最值例3　已知实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________，最小值为________．答案　3　解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z＝＝，故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴zmax＝kMB＝3，zmin＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.引申探究n1．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．答案　解析　z＝·，其中k＝的几何意义为点(x，y)与点N连线的斜率．由图易知，kNC≤k≤kNB，即≤k≤，∴≤k≤7，∴z的取值范围是.2．把目标函数改为z＝，则z的取值范围为________．答案　解析　z＝＝＋2.设k＝，仿例1解得－≤k≤1.∴z∈.反思感悟　对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3　(2018·湖北省荆州中学月考)设x，y满足约束条件则的最大值为(　　)A．1B．C．D．答案　B解析　画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：n联立解得则B.表示可行域内的点(x，y)与C(－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B时，有最大值.类比：思想方法的迁移方式之一典例　若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的取值范围是(　　)A．[－1,3]B．[1,11]C．[1,3]D．[－1,11]答案　D解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，经过B(6，－1)时，zmax＝11；当x≤0时，y＝2x＋z，由图象可知其经过C(－2，－1)时，zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，综上所述，－1≤z≤11.[素养评析]　逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般．其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联．本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.1．若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　)nA．－B．0C．D．答案　C解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z＝x＋2y，即y＝－x＋z，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点B时，z取最大值，所以(x＋2y)max＝.2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)A．6B．7C．8D．23答案　B解析　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.3．已知a，b是正数，且满足20，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于(　　)A．B．C．1D．2答案　B解析　作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由得∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝，故选B.二、填空题9．已知x2＋y2<1，则w＝的取值范围是________．答案　(－∞，0)解析　可行域为单位圆(阴影部分)内部，不包含边界．nw＝的几何意义为点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率．由图知w∈(－∞，0)．10．在线性约束条件下，z＝2x－y的最小值是________．答案　－7解析　如图作出线性约束条件下的可行域，包含边界．三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.11．已知实数x，y满足不等式组若z＝的最大值为1，则正数a的值为________．答案　4解析　作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，z＝表示可行域内的点(x，y)与定点B(－1,1)连线的斜率，由图可知，点A与点B连线的斜率最大．由得A(1，a－1)．∴z的最大值为＝1，解得a＝4.n三、解答题12．已知求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝的取值范围．解　作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，故|MN|＝＝＝.∴|MN|2＝2＝，∴z的最小值为.(2)z＝2·表示可行域内的点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍，∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.13．等差数列{an}中，a3<1，a4＞1.求a7的取值范围．解　设an＝kn＋b.则可行域如图阴影部分．a7＝7k＋b.当k＝0，b＝1时最小，但(0,1)取不到．∴a7∈(1，＋∞)．14．设实数x，y满足则z＝＋的取值范围是(　　)nA.B.C.D.答案　D解析　令k＝，则y＝kx(因为x≠0，所以k存在)，直线y＝kx恒过原点，不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y＝kx过点A(1,2)时，斜率有最大值2；当直线y＝kx过点B(3,1)时，斜率有最小值，所以斜率k的取值范围为，又z＝＋＝k＋，当k∈时，z＝k＋为减函数；当k∈[1,2]时，z＝k＋为增函数，可得z的取值范围为，故选D.15．已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，b≥a＋c，求的最大值．解　题设条件可转化为记x＝，y＝，则表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部．且目标函数为z＝，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率．由方程组得交点坐标为C，此时zmax＝7，即的最大值为7.