2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.5距离（选学）学案新人教b版选修 16页

3.2.5　距离(选学)学习目标　掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．知识点一　点到平面的距离1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．知识点二　直线到平面的距离1．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．2．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．知识点三　四种距离的关系题型一　点线距离例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离．解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．n设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)．∴||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，∴在上的投影为＝.∴点A到直线EF的距离d＝＝＝.反思感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影．(4)利用勾股定理求点到直线的距离．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．解　∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，∴A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1，0,0)，∴＝(1,2，－3)．又∵＝(0,2,0)，n∴在上的投影为＝.∴点B到直线A′C的距离d＝＝＝.题型二　点面距离例2　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离．解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)，∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)，＝(0，－2,0)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．由得∴x＝－y，z＝－3y.取y＝1，则n＝(－1,1，－3)．∴点B到平面EFG的距离d＝＝＝.反思感悟　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求出该平面的一个法向量．(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．跟踪训练2　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)求点C1到平面AB1D的距离．(1)证明　如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，过点D且与AA1n平行的直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0,0)，C(1,0,0)，B1(－1，0,2)，A1(0，，2)，A(0，，0)，C1(1,0,2)，＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0)．设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝0，x＝2，∴n＝(2,0,1)．∵·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0，∴⊥n.∵A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)解　由(1)知平面AB1D的法向量n＝(2,0,1)，且＝(－1，，－2)，∴点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝.题型三　线面距离与面面距离例3　在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离．解　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1,2，0)，∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)．n设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则即∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵＝(0,0,2)，∴直线A1B1与平面ABE的距离d＝＝＝.反思感悟　(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．跟踪训练3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.向量法求解线面距典例　已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．n(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离．考点　向量法求空间距离题点　向量法求点到平面的距离(1)证明　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q，P(0,0,2)．∵＝，＝(，3,0)，∴＝2.∵与无交点，∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.(2)解　由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.又＝(0,2，－2)，∴n·＝2y－2z＝0，即y＝z.又＝，∴n·＝x＋y＝0，即x＝－y.令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)．又＝，∴所求距离d＝＝.n[素养评析]　本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解．合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　)A．10B．3C.D.答案　D2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　)A.B．2C.D.答案　A解析　由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝.3．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)A.B．2C.D.答案　D解析　由题意得＝(＋)＝，＝－＝，PC＝||＝＝.4．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为________．考点　向量法求空间距离题点　向量法求点到直线的距离n答案　解析　因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝.5．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．答案　解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．∴n·＝0，n·＝0，∴即∴令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．又∵＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝.1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．一、选择题1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　)A.aB.C.D.答案　D解析　连接BD，AC交于点O，n则D1O＝＝a为所求．2.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面M，AC⊥平面M，BD⊥AB，BD与平面M成30°角，则C，D间的距离为(　　)A．1B．2C.D.答案　C解析　||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2，∴||＝.3．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　＝(0,4，－3)，＝(－4,9，－3)，＝＝9，||＝＝，BD＝＝＝5，故选C.4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)A．5B．6C．4D．8答案　A解析　∵＝＋＋，∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2··＋2··＋2··＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×3×2×＋2×1×2×＝25，∴||＝5.5．已知三棱锥O－ABC，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，则点A到直线BC的距离为(　　)nA.B.C.D．3答案　B解析　以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，∴＝(－1,2,0)，＝(0，－2,2)，||＝＝，＝.∴点A到直线BC的距离d＝＝.6．(2018·安徽六安高二检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)A.B.C．2D.考点　向量法求空间距离题点　向量法求两点间的距离答案　A解析　如图，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设AD＝a，则点D的坐标为(1,0，a)，n∴＝(1,0，a)，＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝－1，得n＝(a,1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为m＝(0,1,0)，∴cos60°＝，即＝，∴a＝，即AD＝.7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，∴即令z＝1，则平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.二、填空题n8．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d＝________.答案　2解析　d＝＝＝2.9．如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．答案　解析　取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)，＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则　即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.10．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是________．答案　解析　如图所示，＝(2,0,0)，＝(1,0,2)，n∴cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×＝.11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________．答案　解析　设AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，EF∩AC＝G，平面ACC1A1⊥平面EFD1B1，交线为O1G，过O作OH⊥O1G，则OH⊥平面EFD1B1，又由题意知BD∥平面EFD1B1，OH的长即为BD到平面EFD1B1的距离．如图所示，在Rt△O1OG中，OO1＝1，OG＝，则OH＝.三、解答题12．已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，求点B1到平面A1BC1的距离．解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A1(4,0,3)，nB1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，＝(－4,6,0)，＝(0,6，－3)，＝(－4,0,3)，＝(0,6,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，由解得n＝.∴d＝＝.13．在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴，y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，∴＝，＝，＝，设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则∴y＝－x，z＝－x，取n＝(－，1,3)，代入d＝，得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是.14．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若nGD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为________．考点　向量法求空间距离题点　向量法求两点间的距离答案　解析　以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设F(t1,0,0)(0