2020版高中数学第一章常用逻辑用语章末复习学案新人教b版选修 8页

第一章常用逻辑用语章末复习学习目标　1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.2.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.3.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.4.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系．1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．2．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表pqp∧qp∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真3.全称命题与存在性命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫存在性命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.5．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．6．四种命题及其关系n(1)四种命题①原命题：如果p，则q；②逆命题：如果q，则p；③否命题：如果綈p，则綈q；④逆否命题：如果綈q，则綈p.(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．1．命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”的否命题是假命题．(　√　)2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(　√　)3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(　×　)4．已知命题p：∃x∈R，x－2>0，命题q：∀x∈R，x2>x，则命题p∨(綈q)是假命题．(　×　)题型一　命题及其关系例1　(1)有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是(　　)A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点　四种命题的概念题点　判断四种命题的真假答案　D(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)n考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　A解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．反思感悟　(1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．跟踪训练1　(1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(　　)A．若x2>1，则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1，则x2≤1C．若－11D．若x<－1或x>1，则x2>1考点　四种命题的概念题点　四种命题定义的应用答案　B(2)已知命题p：4＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断中错误的是(　　)A．p或q为真，非q为假B．p或q为真，非p为真C．p且q为假，非p为假D．p且q为假，p或q为真考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假答案　C解析　由p：4＋2＝5，可得p是假命题，由q：3>2，可得命题q是真命题，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假，故选C.题型二　充分条件与必要条件、充要条件的探究例2　“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当m＝时，两条直线的斜率分别为－，，－×＝－1，所以两条直线相互垂直；反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：①当m＝－2时，两条直线的方程分别为－6y＋1＝0，－4x－3＝0，显然两直线相互垂直；n②当m≠－2且m≠0时，由－×＝－1，解得m＝；③当m＝0时，两条直线的方程分别为2x＋1＝0，－2x＋2y－3＝0，两直线不垂直．所以m＝－2或.故“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的充分不必要条件．反思感悟　若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果．则p⇏q易表述为以下几种说法：p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.跟踪训练2　(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)答案　D解析　p：∀x∈R,2x>0为真命题；q：∵x>1⇏x>2，∴“x>1”不是“x>2”的充分条件，又x>2⇒x>1，∴“x>1”是“x>2”的必要条件，∴q是假命题，∴綈q是真命题．∴p∧(綈q)为真命题．(2)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　①∵a＝－1⇒Δ＝22－4a×(－1)＝0⇒f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，∴“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分条件．②f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点⇒a＝－1或a＝0⇏a＝－1，∴“a＝－1”不是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的必要条件．n题型三　逻辑联结词与量词的综合应用例3　已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案　A解析　因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，所以m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x∈R，x2－2mx＋1≤0，所以Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.反思感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练3　已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围解　(1)对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，则f(x)min≥m2－3m，当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．(2)当a＝1时，若q为真命题，则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.因此，当命题q为真时，m≤1.因为p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．n当p真q假时，由得1y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨qn；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案　②③解析　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．5．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．考点　“或”“且”“非”的综合问题题点　判断复合命题的真假解　(1)p或q：平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分．p且q：平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分．綈p：有的平行四边形的对角线不相等．因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真．(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同或方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．p且q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同且方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等．綈p：方程x2－16＝0的两个根的符号相同．因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假．1．判断复合命题真假的步骤⇒⇒2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：pq綈pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假3.含有一个量词的命题的否定n命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)