2020版高中数学阶段训练三新人教b版选修 9页

阶段训练三(范围：§2.3～§2.5)一、选择题1．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A.B.C．1D.考点　双曲线的离心率与渐近线题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题答案　B解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为.2．(2018·黑龙江齐齐哈尔高二检测)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　)A．2B．±2C．±4D．4考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用答案　C解析　∵抛物线C：y＝，∴x2＝8y，∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，∴y0＝2，∴x＝16，∴x0＝±4，故选C.3．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)A．x2＝yB．x2＝ynC．x2＝8yD．x2＝16y考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线的方程答案　D解析　∵双曲线－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.抛物线x2＝2py的焦点坐标为，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.∴抛物线C2的方程为x2＝16y.4．(2018·宜宾高二检测)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2，则C的实轴长为(　　)A．1B．2C．4D．8考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题答案　B解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ>0)，①∵抛物线的方程为y2＝8x，∴2p＝8，p＝4，∴＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－2.设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2的两个交点为A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2，∴y＝.将x＝－2，y＝代入①，得(－2)2－()2＝λ，即λ＝1，∴等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，∴C的实轴长为2.n5．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)A.B.C.D．2考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　A解析　由题知，点M在双曲线的左支上，如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.6．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为(　　)A.B.C.D.考点　题点　答案　B解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.n7．设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则·的最小值为(　　)A．1B．－1C．－2D．－4考点　题点　答案　B解析　设直线AB的方程为x＝my＋t，代入抛物线y2＝2x，可得y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t>0且t>0，设A，B，则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t，·＝＋y1y2＝t2－2t＝(t－1)2－1，当t＝1时，·取得最小值－1.8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)A.B.C.D.考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线的综合问题答案　D解析　抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．易知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.n因为切点在第一象限，所以k＝.将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.二、填空题9．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　求抛物线的焦点弦长答案　8解析　因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.10．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的标准方程为________．考点　由双曲线的简单几何性质求方程题点　待定系数法求双曲线方程答案　－＝1解析　由题意及双曲线的对称性画出示意图，如图所示，渐近线OB：y＝x.设B，x0>0，则·x0·x0＝，∴x0＝1，∴B，∴12＋＝22，n∴b2＝12，∴双曲线方程为－＝1.11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为________．考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线性质的综合问题答案　(2，±2)解析　如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，因为△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，所以＝＝3.所以|AF|＝|AM|＝3|OF|＝3.设A，所以＋1＝3，所以＝2，解得y0＝±2.所以点A的坐标是(2，±2)．三、解答题12．已知命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，若p，q有且只有一个为真，求m的取值范围．考点　双曲线的简单几何性质题点　由双曲线方程研究其它问题解　将方程－＝1改写成＋＝1，只有当1－m>2m>0，即00，且1<<4，解得00)的焦点，点M(x0,1)在C上，且|MF|＝.(1)求p的值；(2)若直线l经过点Q(3，－1)且与C交于A，B(异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．考点　抛物线的定值、定点问题题点　抛物线中的定值问题(1)解　由抛物线定义知|MF|＝x0＋，则x0＋＝x0，解得x0＝2p，又点M(x0,1)在C上，所以2px0＝1，又p>0，所以x0＝1，p＝.(2)证明　由(1)得M(1,1)，C：y2＝x.当直线l经过点Q(3，－1)且垂直于x轴时，不妨设A(3，)，B(3，－)，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，所以kAM·kBM＝－×＝－.当直线l不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AM的斜率kAM＝＝＝，同理直线BM的斜率kBM＝，n所以kAM·kBM＝·＝.设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠－1)，则直线l的方程为y＋1＝k(x－3)．联立消去x，得ky2－y－3k－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－＝－3－，故kAM·kBM＝＝＝－.综上，直线AM与直线BM的斜率之积为－.