江苏省2019届高考数学二轮复习自主加餐的3大题型3个附加题综合仿真练（一）（理） 4页

3个附加题综合仿真练(一)(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，B＝.求矩阵C，使得AC＝B.解：因为＝2×3－1×1＝5,所以A－1＝，又AC＝B，所以C＝A－1B＝＝.B．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆C的极坐标方程．解：法一：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为ρ＝acosθ，又因为点在圆C上，所以3＝acos，解得a＝6.所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.法二：点的直角坐标为(3,3)，因为圆C过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C在直线为x＋y－3＝0上．又圆心C在极轴上，所以圆C的直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9.所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.C．[选修4－5：不等式选讲]n已知x，y，z为不全相等的正数．求证：＋＋>＋＋.证明：因为x，y，z都是正数，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.由于x，y，z不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以＋＋>＋＋.2．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3,0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且·＝0.设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0)，线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：向量与共线．解：(1)设P(x，y)为曲线C上任意一点.因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．因为T(3,0)，所以＝(x，y)，＝(4，－y)．因为·＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x.所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：因为直线PQ过点(1,0)，故设直线PQ的方程为x＝my＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立方程消去x，得y2－4my－4＝0.所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为，即M(2m2＋1,2m)．又因为S(－1，y1)，N(－1,0)，所以＝(2m2＋2,2m－y1)，＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2).因为(2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0.n所以向量与共线．3．一条直路上依次有2n＋1棵树，分别为T1，T2，…，T2n＋1(n为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树Tn＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n分钟：当他某一分钟末在树Ti(2≤i≤2n)位置时，下一分钟末他分别有，，的概率到达Ti－1，Ti，Ti＋1的位置．(1)求该醉汉第n分钟末处在树Ti(1≤i≤2n＋1)位置的概率；(2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n分钟末所在位置与起始位置(即树Tn＋1)之间的距离的数学期望(用关于n的最简形式表示)．解：(1)不妨假设2n＋1棵树T1，T2，…，T2n＋1从左向右排列，每2棵树的间距为1个单位长度．因为该醉汉下一分钟末分别有，，的概率到达Ti－1，Ti，Ti＋1的位置，所以该醉汉将以的概率向左或向右走．我们规定，事件“以的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”，故原问题等价于求该醉汉从树Tn＋1位置出发，经过2n次随机游走后处在树Ti位置的概率为Pi.对某个i(1≤i≤2n＋1)，设从Tn＋1出发，经过2n次随机游走到达Ti的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k次和2n－k次，则n＋1＋＝i，解得k＝i－1，即在2n次中有i－1次向右游走，2n－(i－1)次向左游走，而这样的情形共C种，故所求的概率Pi＝(1≤i≤2n＋1)．(2)对i＝1,2，…，2n＋1，树Ti与Tn＋1相距|n＋1－i|个单位长度，而该醉汉到树Ti的概率为Pi，故所求的数学期望E＝n＋1－i|.而n＋1－i|C＝n－j|C＝2(n－j)C＝2C－2Cn＝2n－2nC＝2n×(C＋)－4n＝n(C＋22n)－4n×＝n(C＋22n)－2n·22n－1＝nC，因此E＝.