（课标通用）甘肃省2019年中考数学总复习优化设计单元检测（七）图形与变换 16页

单元检测(七)　图形与变换(考试用时:90分钟　满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　答案A解析在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转180°后,能与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(　　)A.24+2πB.16+4πC.16+8πD.16+12π答案D解析该几何体的表面积为2×12·π·22+4×4+12×2π·2×4=12π+16.3.如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是(　　)A.BCDF=12B.∠A的度数∠D的度数=12C.△ABC的面积△DEF的面积=12D.△ABC的周长△DEF的周长=12答案Dn解析∵△ABC∽△DEF,∴BCEF=12,A不一定成立;∠A的度数∠D的度数=1,B不成立;△ABC的面积△DEF的面积=14,C不成立;△ABC的周长△DEF的周长=12,D成立.4.一个几何体的主视图和俯视图如图所示,若这个几何体最多由a个小正方体组成,最少由b个小正方体组成,则a+b等于(　　)A.10B.11C.12D.13答案C解析结合主视图和俯视图可知,左边后排最多有3个,左边前排最多有3个,右边只有一层,且只有1个,所以图中的小正方体最多7块,结合主视图和俯视图可知,左边后排最少有1个,左边前排最多有3个,右边只有一层,且只有1个,所以图中的小正方体最少5块,a+b=12.5.(2018湖南永州)如图,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为(　　)A.2B.4C.6D.8答案B解析∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴ACAB=ADAC,∴AC2=AD·AB=2×8=16,∵AC>0,∴AC=4.6.(2018湖南邵阳)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,则CD的长度是(　　)A.2B.1C.4D.25答案An解析∵点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,∴C(1,2),则CD的长度是2.7.(2018山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2.将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A的对应点坐标是(　　)A.(2,2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(2,-1)答案A解析∵点C的坐标为(-1,0),AC=2,∴点A的坐标为(-3,0),如图所示,将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°,则点A'的坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度,则变换后点A'的对应点坐标为(2,2),8.(2018新疆)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是(　　)A.12B.1C.2D.2答案B解析如图,作点M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于P,此时MP+NP有最小值,最小值为M'N的长.∵菱形ABCD关于AC对称,M是AB边上的中点,n∴M'是AD的中点,又∵N是BC边上的中点,∴AM'∥BN,AM'=BN,∴四边形ABNM'是平行四边形,∴M'N=AB=1,∴MP+NP=M'N=1,即MP+NP的最小值为1.9.(2018贵州遵义)如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上,则经过点B的反比例函数解析式为(　　)A.y=-6xB.y=-4xC.y=-2xD.y=2x答案C解析过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,∵∠BOA=90°,∴∠BOC+∠AOD=90°,∵∠AOD+∠OAD=90°,∴∠BOC=∠OAD,又∵∠BCO=∠ADO=90°,∴△BCO∽△ODA,∴BOAO=tan30°=33,∴S△BCOS△AOD=13,∵S△AOD=12×AD×DO=12xy=3,∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1,∵经过点B的反比例函数图象在第二象限,故反比例函数解析式为y=-2x.n10.(2018浙江杭州)如图直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE,则△ADE的面积是(　　)A.1B.2C.3D.不能确定答案A解析如图所示,作EF⊥AD交AD延长线于F,作DG⊥BC,∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,∴∠EDF+∠CDF=90°,DE=CD,又∵∠CDF+∠CDG=90°,∴∠CDG=∠EDF,在△DCG与△DEF中,∠CDG=∠EDF,∠EFD=∠CGD=90°,DE=CD,∴△DCG≌△DEF(AAS),∴EF=CG,∵AD=2,BC=3,∴CG=BC-AD=3-2=1,∴EF=1,∴△ADE的面积:12×AD×EF=12×2×1=1.二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.如图,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C'的位置,若BC=12cm,则顶点A从开始到结束所经过的路径长为　　　　　cm. 答案16π解析∵∠BAC=30°,∠ABC=90°,且BC=12,n∴∠ACA'=∠BAC+∠ABC=120°,AC=2BC=24cm,由题意知点A所经过的路径是以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长,∴其路径长为120·π·24180=16π(cm).12.(2018广西北海)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,PE,DE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则cos∠ADF的值为　　　　　. 答案1517解析由题意得Rt△DCP≌Rt△DEP,所以DC=DE=4,CP=EP,在Rt△OEF和Rt△OBP中,∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,OP=OF,Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),所以OE=OB,EF=BP,设EF为x,则BP=x,DF=DE-EF=4-x,又因为BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,所以,AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,也就是(1+x)2+32=(4-x)2,解得x=35,所以EF=35,DF=4-35=175所以在Rt△DAF中,cos∠ADF=ADDF=1517.13.(2018山东淄博)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于　　　　　. 答案10解析∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,CD=AB=2.由折叠,∠DAC=∠EAC∵∠DAC=∠ACB,∴∠ACB=∠EAC,n∴OA=OC∵AE过BC的中点O,∴AO=12BC,∴∠BAC=90°∴∠ACE=90°由折叠得∠ACD=90°,∴E,C,D共线,则DE=4,∴△ADE的周长为3+3+2+2=10.14.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为　　　　　. 答案6解析∵直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D,OB=3,OD=2,∴AB=2,∴阴影部分的面积之和为3×2=6.15.(2018北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为　　　　　. 答案103解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,AB∥CD,∠ADC=90°,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∴AC=AD2+CD2=5,∵E是AB中点,∴AE=12AB=12CD,∵AB∥CD,∴AFCF=AECD=12,∴CF=23AC=103.16.n(2018湖北黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　　　　cm(杯壁厚度不计). 答案20解析沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,过B作BQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A',连接A'B交EH于P,连接AP,则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,∵AE=A'E,A'P=AP,∴AP+PB=A'P+PB=A'B,∵BQ=12×32cm=16cm,A'Q=14cm-5cm+3cm=12cm,在Rt△A'QB中,由勾股定理得A'B=162+122=20cm.17.(2018江苏南通)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点O是BC中点,将△ABC绕点O旋转得△A'B'C,则在旋转过程中点A,C'两点间的最大距离是　　　　　. 答案2+13解析连接OA,AC',如图,∵点O是BC中点,∴OC=12BC=2,在Rt△AOC中,OA=22+32=13,n∵△ABC绕点O旋转得△A'B'C',∴OC'=OC=2,∵AC'≤OA+OC'(当且仅当点A,O,C'共线时,取等号),∴AC'的最大值为2+13,即在旋转过程中点A、C'两点间的最大距离是2+13.18.(2018山东潍坊)如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y=3x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;…按此作法进行下去,则A2019B2018的长是　　　　　. 答案22019π3解析直线y=3x,点A1坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为(2,23),以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴正半轴于点A2,OA2=OB1,OA2=22+(23)2=4,点A2的坐标为(4,0),这种方法可求得B2的坐标为(4,43),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,83),以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),则A2019B2018的长是60×π×22019180=22019π3.三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-1).(1)把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标;(2)已知点A与点A2(2,1)关于直线l成轴对称,请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2,并直接写出直线l的函数解析式.解(1)如图,△A1B1C1即为所求,B1(-2,-1);n(2)如图,△A2B2C2即为所求,直线l的函数解析式为y=-x.20.(8分)如图,在▱ABCD中过点A作AE⊥DC,垂足为E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE=∠D.(1)求证:△ABF∽△BEC;(2)若AD=5,AB=8,sinD=45,求AF的长.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC,∵∠AFB+∠AFE=180°,∴∠C=∠AFB,∴△ABF∽△BEC;(2)解∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠AED=∠BAE=90°,在Rt△ADE中,AE=AD·sinD=5×45=4,在Rt△ABE中,根据勾股定理得BE=AE2+AB2=42+82=45,∵BC=AD=5,由(1)得△ABF∽△BEC,∴AFBC=ABBE,即AF5=845,解得AF=25.21.(10分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动,且不与点A和点D重合,连接CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G.(1)求证:△CDE≌△CBF;(2)当DE=12时,求CG的长;n(3)连接AG,在点E运动过程中,四边形CEAG能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,说明理由.(1)证明如图,在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠ABC=∠DCB=90°,∴∠CBF=180°-∠ABC=90°,∠1+∠2=∠DCB=90°,∵CF⊥CE,∴∠ECF=90°,∴∠3+∠2=∠ECF=90°,∴∠1=∠3,在△CDE和△CBF中,∠D=∠CBF,DC=BC,∠1=∠3,∴△CDE≌△CBF(ASA);(2)解在正方形ABCD中,AD∥BC,∴△GBF∽△EAF,∴BGAE=BFAF,由(1)知,△CDE≌△CBF,∴BF=DE=12,∵正方形的边长为1,∴AF=AB+BF=32,AE=AD-DE=12,∴BG12=1232,∴BG=16,∴CG=BC-BG=56;(3)解不能;理由:若四边形CEAG是平行四边形,则必须满足AE∥CG,AE=CG,∴AD-AE=BC-CG,∴DE=BG,由(1)知,△CDE≌△ECF,∴DE=BF,CE=CF,∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形,∴∠GFB=45°,∠CFE=45°,∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°,此时点F与点B重合,点D与点E重合,与题目条件不符,∴点E在运动过程中,四边形CEAG不能是平行四边形.22.(10分)(2018四川内江)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O交斜边AC于点D,过圆心O作OE∥AC,交BC于点E,连接DE.n(1)判断DE与☉O的位置关系并说明理由;(2)求证:2DE2=CD·OE;(3)若tanC=43,DE=52,求AD的长.(1)解DE是☉O的切线,理由:如图,连接OD,BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∵OE∥AC,OA=OB,∴BE=CE,∴DE=BE=CE,∴∠DBE=∠BDE,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ODE=∠OBE=90°,∵点D在☉O上,∴DE是☉O的切线;(2)证明∵∠BCD=∠ABC=90°,∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB,∴BCAC=CDBC,∴BC2=CD·AC,由(1)知DE=BE=CE=12BC,∴4DE2=CD·AC,由(1)知,OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE,∴4DE2=CD·2OE,∴2DE2=CD·OE;(3)解∵DE=52,∴BC=5,在Rt△BCD中,tanC=43=BDCD,n设CD=3x,BD=4x,根据勾股定理得,(3x)2+(4x)2=25,∴x=-1(舍去)或x=1,∴BD=4,CD=3,由(2)知,BC2=CD·AC,∴AC=BC2CD=253,∴AD=AC-CD=253-3=163.23.(10分)(2018四川达州)矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点F的反比例函数y=kx(k>0)的图象与边AC交于点E.(1)当点F运动到边BC的中点时,求点E的坐标;(2)连接EF,求∠EFC的正切值;(3)如图2,将△CEF沿EF折叠,点C恰好落在边OB上的点G处,求此时反比例函数的解析式.解(1)∵OA=3,OB=4,∴B(4,0),C(4,3),∵F是BC的中点,∴F4,32,∵F在反比例函数y=kx图象上,∴k=4×32=6,∴反比例函数的解析式为y=6x,∵E点的纵坐标为3,∴E(2,3);(2)∵F点的横坐标为4,∴F4,k4,∴CF=BC-BF=3-k4=12-k4,n∵E的纵坐标为3,∴Ek3,3,∴CE=AC-AE=4-k3=12-k3,在Rt△CEF中,tan∠EFC=CECF=43;(3)如图,由(2)知,CF=12-k4,CE=12-k3,CECF=43,过点E作EH⊥OB于点H,∴EH=OA=3,∠EHG=∠GBF=90°,∴∠EGH+∠HEG=90°,由折叠知,EG=CE,FG=CF,∠EGF=∠C=90°,∴∠EGH+∠BGF=90°,∴∠HEG=∠BGF,∵∠EHG=∠GBF=90°,∴△EHG∽△GBF,∴EHBG=EGFG=CECF,∴3BG=43,∴BG=94,在Rt△FBG中,FG2-BF2=BG2,∴12-k42-k42=8116,∴k=218,∴反比例函数解析式为y=218x.24.(12分)(2018山东东营)如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.n(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)由题可知当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3则A(1,0),B(3,0)于是OA=1,OB=3∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC∴OC2=OA·OB=3即OC=3;(2)∵点C是BM的中点,∴OC=BC,从而点C的横坐标为32.又OC=3,点C在x轴下方,∴C32,-32设直线BM的解析式为y=kx+b,∵其过点B(3,0),C32,-32,则有3k+b=0,32k+b=-32.∴b=-3,k=33,∴y=33x-3.又点C32,-32在抛物线上,代入抛物线解析式,解得a=233.∴抛物线解析式为y=233x2-833x+23;n(3)点P存在.设点P坐标为x,233x2-833x+23,过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q,则Qx,33x-3,PQ=-233x2+33x-33,当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=12PQ(3-x)+12PQx-32=12PQ3-x+x-32=34PQ=-32x2+934x-934,当x=-b2a=94时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为94,-583.