2020版高中数学第二章数列2.3.1等比数列（第2课时）等比数列的性质学案 10页

第2课时　等比数列的性质学习目标　1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一　等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为q，则an＝a1·qn-1①＝am·qn-m②＝·qn③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q＞0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．知识点二　等比数列常见性质(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m且n，m∈N＋)；(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列；(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn-1.(　√　)2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．(　√　)3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　×　)n4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．(　×　)题型一　等比数列通项公式的推广应用例1　已知等比数列{an}中．(1)若a4＝2，a7＝8，求an；(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.解　(1)∵＝q7-4＝，即q3＝4，∴q＝，∴(n∈N＋)．(2)由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q.由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2.∵a1＝q，且{an}为递增数列，∴∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N＋)．反思感悟　(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.跟踪训练1　已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(　　)A．21B．42C．63D．84答案　B解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.题型二　等比数列的性质及其应用n例2　已知{an}为等比数列．(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2　设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于(　　)A．38B．39C．9D．7答案　C解析　∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a＝log339＝9.题型三　由等比数列衍生的新数列例3　已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)A．4B．6C．7D．5答案　D解析　∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝5.反思感悟　借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3　等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　)A．32B．64C．128D．256n答案　B解析　由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2，故a36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解　(1)n年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n万元．(2)由(1)得a4＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析]　(1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　)A．2B．3C．4D．8答案　A解析　由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.2．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　)nA.B.C．2D．2答案　C解析　奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则＝q5＝32，则q＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．答案　8解析　设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？解　不是等比数列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，∴a1a3≠a，∴数列{an}不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{an}中，若a2019＝8a2016，则公比q的值为(　　)A．2B．3C．4D．8答案　A解析　∵a2019＝8a2016＝a2016·q3，∴q3＝8，∴q＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)A．100B．－100nC．10000D．－10000答案　C解析　∵lg(a3a8a13)＝lga＝6，∴a＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝a＝10000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于(　　)A．2B．4C.D．2答案　B解析　在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为单调递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝(舍负)，a1＝＝4.4．等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6.则a8等于(　　)A．64B．128C．256D．512答案　B解析　a2＋a3＝q(a1＋a2)＝3q＝6，∴q＝2，∴a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1.∴a8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)A.B．3C．±D．±3答案　B解析　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－2a1，∴a2＝－a1，a3＝－3a1，∴q＝＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)A．8B．9C．10D．11答案　C解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∵a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10，故选C.n7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)A．12B．13C．14D．15答案　C解析　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n-3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故选C.二、填空题8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.答案　18解析　由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.答案　－6解析　由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.10．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.答案　8解析　由等比数列的性质，得a3a11＝a，∴a＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.11．在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.答案　1024解析　设等比数列{an}的公比为q，a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②②÷①得q48＝8，q16＝2，n∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1024.三、解答题12．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．解　∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×2＝1.13．在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1＞1，公比q＞0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式an；(3)试比较an与Sn的大小．(1)证明　因为bn＝log2an，所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2＝log2q(q＞0)为常数，所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.(2)解　因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1＞1，所以b1＝log2a1＞0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，即即解得因此Sn＝4n＋·(－1)＝.又因为d＝log2q＝－1，所以q＝，b1＝log2a1＝4，即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋)．(3)解　由(2)知，an＝25－n＞0，n当n≥9时，Sn＝≤0，所以当n≥9时，an＞Sn.又因为a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝，S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，所以当n＝3,4,5,6,7,8时，an