2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案新人教b版 13页

2．1.1　椭圆及其标准方程学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一　椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．知识点二　椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)2．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值．(　√　)3．已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上，其标准方程不同．(　√　)题型一　椭圆定义的应用例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两n定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．反思感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．答案　②解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．题型二　求椭圆的标准方程例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q.考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，n2a＝＋＝2，即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟　求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；n(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，则解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．则解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.题型三　椭圆中焦点三角形问题例3　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．解　(1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，n∴cos∠F1PF2＝＝－，又∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°.反思感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解　(1)依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，故所求点P的轨迹方程为＋＝1.(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.∴＝mnsin∠F1PF2＝×4sin60°＝.待定系数法求椭圆的标准方程典例　求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得n所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[素养评析]　通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证．1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．直线C．圆D．线段答案　D解析　∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，∴点M的轨迹是线段F1F2.2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(　　)A．(±，0)B．(0，±)C.D.答案　C解析　椭圆的方程为＋＝1，则c2＝－＝，c＝.∴其焦点坐标为.n3．设α∈，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　∵焦点在y轴上，∴cosα>sinα，即sin>sinα，又α∈，∴－α>α，即α∈.4．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝________.答案　25解析　由椭圆的定义知，3＋7＝2a，得a＝5，则m＝a2＝25.5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．解　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，∵A(－，2)和B(，1)两点在椭圆上，∴解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．a＝6，c＝1的椭圆的标准方程是(　　)nA.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D．以上都不对答案　D解析　因为椭圆的焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)A．－1B．1C.D．－答案　B解析　原方程可化简为x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1.3．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)A．2B．4C．8D.答案　B解析　如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.4．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案　B解析　由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，n不妨设|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．5．曲线＋＝1与＋＝1(09－k>0，∴焦点在y轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k)－(9－k)＝16＝c2，∴2c＝8，则两者焦距相等．故选B.6．方程＋＝1表示椭圆的必要不充分条件是(　　)A．m∈(－1,2)B．m∈(－4,2)C．m∈(－4，－1)∪(－1,2)D．m∈(－1，＋∞)答案　B解析　方程＋＝1表示椭圆的充要条件是即m∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得，所求m的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.7．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)nA.B.C.D.答案　C解析　∵·＝0，∴⊥，由|MF1|＋|MF2|＝4，①又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②由①与②可得|MF1|·|MF2|＝2，设M到x轴的距离为h，则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，h＝＝.二、填空题8．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．答案　＋＝1解析　如图，∵△ABF2的周长等于20，∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为＋＝1.9．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_____________答案　4或8解析　(1)当焦点在x轴上时，10－m－(m－2)＝4，解得m＝4.(2)当焦点在y轴上时，m－2－(10－m)＝4，解得m＝8，∴m＝4或8.10．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．n答案　(8,25)解析　由题意得解得8b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0.而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，①若|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值；②求|PF1|·|PF2|的最大值．解　(1)由题意，得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.n又∵3a2＝4b2，∴a2－b2＝a2＝c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①由|PF1|－|PF2|＝1，又由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝.②∵a＝2,4＝|PF1|＋|PF2|≥2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，∴|PF1|·|PF2|≤4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.14．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段答案　D解析　∵a＞0，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时取等号，∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．15．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．n解　如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，|BC|＝＝，∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|，∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.