2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案 14页

第1课时　椭圆的几何性质学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一　椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二　椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e＝称为椭圆的离心率．2．因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆．1．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是a.(　×　)2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　×　)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝n1.(　×　)4．设F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　√　)题型一　椭圆的几何性质例1　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解　由已知得＋＝1(m＞0)，∵0＜m2＜4m2，∴＞，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝，∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，，离心率e＝＝＝.反思感悟　从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.n(2)椭圆C2：＋＝1.性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝.题型二　椭圆几何性质的简单应用命题角度1　依据椭圆的几何性质求标准方程例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知得∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.反思感悟　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得∴椭圆的标准方程为＋＝1.同样地可求出当焦点在y轴上时，n椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意有∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.命题角度2　最值问题例3　椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程．解　设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．∵＝＝＝，∴a＝2b.∴椭圆方程为＋＝1.设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3，令f(y)＝－32＋4b2＋3.(1)当－b≤－，即b≥时，d＝f＝4b2＋3＝7，解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)当－<－b，即0，与b<矛盾．综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1.反思感悟　求解椭圆的最值问题的基本方法有两种n(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3　已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)A．0B．1C．2D．2答案　C解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2.∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.题型三　求椭圆的离心率例4　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得＋＝1，∴y＝，∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，n∴e2＋2e－1＝0，又0＜e＜1，∴e＝－1.反思感悟　求解椭圆的离心率，其实质就是构建a，b，c之间的关系式，再结合b2＝a2－c2，从而得到a，c之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4　设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.椭圆几何性质的应用典例　神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　)A．d1＋d2＋RB．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2RD．d1＋d2考点　椭圆的简单几何性质题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案　D解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.n[素养评析]　将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1答案　B解析　由已知得c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故椭圆的标准方程为＋x2＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由2x2＋3y2＝m(m>0)，得＋＝1，∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．答案　[4－2，4＋2]解析　因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．n5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案　(0，±)解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.一、选择题1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．7,2，B．14,4，C．7,2，D．14,4，答案　B解析　先将椭圆方程化为标准形式＋＝1，其中b＝2，a＝7，c＝3.2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.n答案　D解析　∵x－2y＋2＝0，∴y＝x＋1，∴＝，∴＝，∴＝，＝.3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)A.B.C．2D．4考点　由椭圆的简单几何性质求方程题点　由椭圆的几何性质求参数答案　B解析　椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故＝2，解得m＝.5．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)A.B．－3C.或－3D．－3或答案　C解析　若焦点在x轴上，则＝1－2＝，∴k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3，故选C.6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e＝，则椭圆方程为(　　)nA.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　C解析　因为|F1F2|＝2，离心率e＝，所以c＝1，a＝2，所以b2＝3，即椭圆方程为＋＝1.7．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意得，点P的坐标为或，因为∠F1PF2＝60°，所以＝，即2ac＝b2＝(a2－c2)，所以e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－(舍去)．8．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)A.－1B．2－C.D.考点　椭圆的离心率问题题点　由a与c的关系式得离心率答案　A解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，n∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.二、填空题9．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m＝________.答案　或4解析　方程化为x2＋＝1，则有m>0且m≠1.当<1时，依题意有＝，解得m＝4；当>1时，依题意有＝，解得m＝.综上，m＝或4.10．已知椭圆C的上，下顶点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.答案　解析　因为四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝.11．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案　＋＝1解析　∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.设P，则kOP＝，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.n三、解答题12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0.∵m－＝>0，∴m>，∴a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝，得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为F1，F2，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.13.如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．解　设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，n＝(2－x0，－y0)，∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝2时，·取得最小值0，当x0＝－2时，·取得最大值4.14．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.考点　椭圆的离心率问题题点　求离心率的取值范围答案　A解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.15．已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)．n(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝.∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)设M(x0，y0)，x0∈，则＋＝1.①＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得·＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝x0－.∵－2