2020版高中数学第三章不等式章末复习学案新人教b版 8页

第三章不等式章末复习学习目标1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识．2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式．3.会用均值不等式证明不等式，求解最值问题．4.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.5.能熟练地运用图解法解决线性规划问题．1．不等式的性质名称式子表达性质1(对称性)a＞b⇔b＜a性质2(传递性)a＞b，b＞c⇒a＞c性质3a＞b⇒a＋c＞b＋c推论1a＋b＞c⇒a＞c－b推论2a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋da＞b，c＜0⇒ac＜bc性质4a＞b，c＞0⇒ac＞bc推论1a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bdnn推论2a＞b＞0⇒a＞b(n∈N＋，n＞1)nn推论3a＞b＞0⇒a＞b(n∈N＋，n＞1)2.均值不等式利用均值不等式证明不等式和求最值的区别(1)利用均值不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．(2)利用均值不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等．3．三个二次之间的关系222设f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)，方程ax＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b－4ac判别式Δ>0Δ＝0Δ<0求方程f(x)＝0的有两个不等的实有两个相等的没有实解不等解数解x1，x2实数解x1，x2数解n式画函数y＝f(x)的f(x)>0示意图或bf(x)<0得不等式f(x)>0{x|xx2}x|x≠－R2a)的解集的步骤f(x)<0{x|x10的解集是23，则a＋b＝________.答案－14112解析∵x1＝－，x2＝是方程ax＋bx＋2＝0的两个根，23ab－＋2＝0，42a＝－12，∴ab解得＋＋2＝0，b＝－2，93∴a＋b＝－14.反思感悟(1)“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化．(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．2跟踪训练2设不等式x－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．解M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．2设f(x)＝x－2ax＋a＋2，n2对方程x－2ax＋a＋2＝0，22有Δ＝(－2a)－4(a＋2)＝4(a－a－2)，①当Δ<0时，－10时，a<－1或a>2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x10，1＜a＜4，a＜－1或a>2，18解得20(a∈R)．2解原不等式可化为(x－a)(x－a)>0.22当a<0时，aa}；2当a＝0时，a＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；22当0a}；2当a＝1时，a＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；22当a>1时，aa}；2综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa}；2当0a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．反思感悟对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．2跟踪训练3已知常数a∈R，解关于x的不等式ax－2x＋a<0.解(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}．2(2)若a>0，Δ＝4－4a.n2221－1－a1＋1－a①当Δ>0，即01时，原不等式的解集为∅.2(3)若a<0，Δ＝4－4a.221＋1－a1－1－a|x<或x>①当Δ>0，即－10，∴当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；221－1－a1＋1－a|0}；221＋1－a1－1－a|x<或x>当－10}，则∁RA等于()A．{x|－12}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案B解析方法一A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.22方法二因为A＝{x|x－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.nx≥0，2．已知实数x，y满足条件y≤1，若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时2x－2y＋1≤0，的最优解有无穷多个，则实数m的值为()11A．1B．C．－D．－122答案A解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.1－20的解集为x4，则a＋b等于()A．－18B．8C．－13D．1答案C12解析∵－2和－是方程ax＋bx－2＝0的两根．41－b－2＋4＝－，a∴1－2－2×4＝－，aa＝－4，∴∴a＋b＝－13.b＝－9，24．若不等式4(a－2)x＋2(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是__________．答案(－2,2]2解析不等式4(a－2)x＋2(a－2)x－1<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题2Δ＝4a－2＋16a－2<0，意；当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需a－2<0，解得－20(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的22问题：二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴的交点；方程ax＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，2Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a≠0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点(或边界)，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用均值不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．