2020版高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则学案新人教b版 14页

3.2.3　导数的四则运算法则学习目标　1.了解导数运算法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点　导数的四则运算(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．③′＝(g(x)≠0)．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)2．f(x)＝，则f′(x)＝.(　×　)3．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(　×　)题型一　利用导数四则运算法则求导例1　求下列函数的导数．(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xlnx＋2x；n(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.考点　题点　解　(1)f′(x)＝′＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.(2)f′(x)＝(xlnx＋2x)′＝(xlnx)′＋(2x)′＝x′lnx＋x(lnx)′＋2xln2＝lnx＋1＋2xln2.(3)方法一　f′(x)＝′＝＝＝.方法二　∵f(x)＝＝＝1－，∴f′(x)＝′＝′＝－＝.(4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．反思感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cosxlnx；(3)y＝.考点　导数的运算法则题点　导数乘除法则的混合运用解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋.n(3)y′＝＝＝＝.题型二　导数运算法则的综合应用命题角度1　利用导数求函数解析式例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)A．aB．±aC．－aD．a2考点　导数的运算法则题点　导数除法法则及运算答案　B解析　∵y′＝1－，＝1－＝0，∴x0＝±a.4．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2考点　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx，由题意知f′·＝－1，∴a＝2.5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)A．0B．1C.D．不存在考点　导数的应用题点　导数的应用答案　C解析　∵f′(x)＝，由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，即解得x0＝.6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则(　　)nA．f(0)f(5)D．f(0)≥f(5)考点　导数的应用题点　导数的应用答案　C解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4.∴f(x)＝x2－8x＋m，∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.∴f(0)>f(5)．7．已知函数f(x)＝x2＋cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是(　　)考点　题点　答案　A解析　∵f(x)＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D.又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，只有A适合，故选A.二、填空题8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.考点　导数的运算法则n题点　导数除法法则及运算答案　解析　∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，又h′(x)＝，∴h′(5)＝＝＝.9．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　1解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.10．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　3x－y＋1＝0解析　y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.11．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．考点　题点　n答案　(2，＋∞)解析　∵f(x)＝ex－mx＋1，∴f′(x)＝ex－m，∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，∴m＝2＋ex>2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．三、解答题12．求下列函数的导数．(1)y＝－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝；(4)y＝.考点　题点　解　(1)y′＝(－lnx)′＝()′－(lnx)′＝－.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝＝.(4)y′＝＝.13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，n又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，∴y′∈[－1,0)，α∈.15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.n当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①②得解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.