2020版高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教b版 17页

3．3.3　导数的实际应用学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点　生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)题型一　几何中的最值问题例1　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点　几何类型的优化问题n题点　几何体体积的最值问题解　(1)由题意知包装盒的底面边长为xcm，高为(30－x)cm,00，得010，y>8.(1)两栏面积之和为2··(y－8)＝720，n由此得y＝＋8(x>10)．(2)试卷的面积S＝xy＝x，∴S′＝＋8，令S′＝0，得x＝40(负数舍去)，∴函数在(10,40)上单调递减，在(40，＋∞)上单调递增，∴当x＝40时，S取得最小值，故当试卷的长为40cm，宽为32cm时，可使试卷的面积最小．题型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题例2　某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题解　(1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝＝，当4≤x≤6时，y′≥0，函数在[4,6]上为增函数；当6≤x≤12时，y′≤0，函数在[6,12]上为减函数，所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(万元)．反思感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)n与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中30，g(x)为增函数，所以当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思感悟　费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题解　(1)由题意知，每年的能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)．设建造费用为C1(x)，则C1(x)＝6x.所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．n(2)因为f(x)＝＋6x(0≤x≤10)，所以f′(x)＝6－.令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(负值舍去)．当0≤x<5时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当50，f(x)为增函数．故x＝5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝＋6×5＝70.故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．损耗最少问题典例　已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.设全程燃料费为y元，由题意，得y＝y1·＝(80，y为增函数．故当v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．n[素养评析]　(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8B.C．－1D．－8考点　函数类型的优化问题题点　函数类型的其他问题答案　C解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　)A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题答案　B解析　设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝－3x(m)，故长方体的体积为V(x)＝2x2＝9x2－6x3，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当00；当10)；生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产(　　)nA．9千台B．8千台C．6千台D．3千台考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　C解析　利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)，求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．所以当生产6千台时，利润最大．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为时最省材料．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题答案　4解析　设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋.令S′＝2a－＝0，得a＝8.当08时，S′>0，故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题解　(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：nx[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、选择题1．已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋36x＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．11万件B．9万件C．7万件D．6万件考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　D解析　由y′＝－x2＋36＝0，解得x＝6或x＝－6(舍去)．当00；当x>6时，y′<0，∴在x＝6时y取最大值．2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为(　　)A．2,6B．4,4C．3,5D．以上都不对n考点　函数类型的优化问题题点　函数类型的其他问题答案　B解析　设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和为y＝x3＋(8－x)3＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，则y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40，所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4,4.3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)A．150B．200C．250D．300考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　D解析　由题意得，总利润P(x)＝∴P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，当00，当300P(390)＝31090.故选D.4．某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)A．900元B．840元C．818元D．816元考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题答案　D解析　设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，n根据题意得箱底面积为＝16(m2)，则箱底另一边的长度为m，所以l＝16×15＋×12＝240＋72，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l取得极小值，也就是最小值，为816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．5．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为(　　)A.B.C.D．2考点　几何类型的优化问题题点　面积的最值问题答案　C解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.可判断得当x＝时，直棱柱的表面积最小．6．在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为(　　)A．4B．8C.D.考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题答案　C解析　V＝×·y＝＝＝(00，右侧L′(p)<0，n所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．二、填空题9．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm.考点　几何类型的优化问题题点　几何体体积的最值问题答案　8解析　设截去的正方形的边长为xcm，铁盒的体积为Vcm3，则铁盒的底面边长为(48－2x)cm，由题意，得V＝x(48－2x)2(00)，y′＝－x2.由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以当x＝25时，y取最大值．11．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度xn(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数解决费用最省问题答案　80解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得y＝＝＋－(00，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．三、解答题12．某单位用3240万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少15层、每层3000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥15)层，则每平方米的平均建筑费用为840＋kx(单位：元)．已知楼房建为15层时，每平方米的平均建筑费用为1245元．(1)求k的值．(2)当楼房建为多少层时，楼房每平方米的平均综合费用最少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)考点　题点　解　(1)由题意可得840＋15k＝1245，解得k＝27.(2)设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)，则f(x)＝(840＋27x)＋＝840＋27x＋(x≥15且x∈N＋)，f′(x)＝27－，令f′(x)＝0，得x＝20，n当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[15,20)20(20，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增所以当x＝20时，f(x)有最小值．答　为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层．13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题解　(1)当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，所以W＝(2)①当00；当x∈(9,10]时，W′<0.所以当x＝9时，W取得最大值，即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W取得最大值38.n综合①②知，当x＝9千件时，W取得最大值38.6万元．答　当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．14．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486考点　函数类型的优化问题题点　利用导数求解最大利润问题答案　B解析　由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(00；当0.03240⇒r<2，所以定义域为(0,2)．(2)因为y′＝－＋16πr＝，所以令y′>0，得2