2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1“且”与“或”学案新人教b版 10页

1．2.1　“且”与“或”学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法．知识点一　“且”1．定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：pqp∧q真真真真假假假真假假假假命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”．2．“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．知识点二　“或”1．定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：pqp∨q真真真n真假真假真真假假假命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．2．对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x∉B，也可以是x∉A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假．1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(　×　)2．命题“p∨q”是真命题，p，q至少有一个是真命题．(　√　)3．梯形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题．(　×　)题型一　含有“且”“或”命题的构成命题角度1　命题形式的区分例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.解　(1)是p∧q形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p∨q形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p∨q形式的命题．其中p：2>2，q：2＝2.n反思感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．跟踪训练1　指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．解　(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．命题角度2　用逻辑联结词构造新命题例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解　(1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思感悟　用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．跟踪训练2　分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：是无理数，q：是实数；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解　(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数．(2)p∧q：是无理数且是实数；p∨q：是无理数或是实数．(3)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角．题型二　“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断例3　分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．n(1)p：函数y＝sinx是奇函数；q：函数y＝sinx在R上单调递增；(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交；(3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.解　(1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．(2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．(3)∵p假，q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．反思感悟　判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤(1)首先判断命题p与q的真假．(2)对于p∧q，“一假则假，全真则真”，对于p∨q，只要有一个为真，则p∨q为真，全假为假．跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．(1)p：∅{0}，q：0∈∅；(2)p：是无理数，q：π不是无理数；(3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．解　(1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．(2)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．(3)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．(4)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．由复合命题的真假求参数的范围典例　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．考点　“或”“且”的综合问题题点　由复合命题的真假求参数的范围解　p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⇔m>2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根⇔Δ＝16(m－2)2－16<0⇔11或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于⊆A，⊆，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．3．命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，则下列判断正确的是(　　)nA．命题p真q假B．命题p假q真C．命题p与q真假相同D．命题p与q真假不同答案　D解析　由命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，得命题p，q一真一假．故选D.4．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1)D．(－1,1)答案　C解析　点(x，y)满足解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.5．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真答案　C解析　函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cosx的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.6．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1]．在下列命题：“p”“q”“p∧q”“p∨q”中，真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C7．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1答案　B解析　∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，∴a2－a>0，解得a<0或a>1.∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中一真一假．n①当p真q假时，得0≤a≤1；②当p假q真时，得a>1.由①②得所求a的取值范围是a≥0.二、填空题8．分别用“p∨q”“p∧q”填空：(1)命题“集合AB”是________的形式；(2)命题“≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．答案　(1)p∧q　(2)p∨q　(3)p∧q9．已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．答案　(－1,2)解析　当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1的解集为{x|0，得<0⇒01(a>0且aD＝/1)的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p且q为假，p或q为真，则a的取值范围为________．答案　∪解析　若p真，则01.若q真，有解得a>.n若q假，则a≤，又由题意知，p和q有且仅有一个为真，∴当p真q假时，01，综上所述，a∈∪(1，＋∞)．三、解答题12．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.解　(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．13．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解　若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2；若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1