2020版高中数学第一章解三角形1.2应用举例（第2课时）角度问题及其他学案新人教b版 14页

第2课时　角度问题及其他学习目标　1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.了解解三角形在物理中的应用．知识点一　实际应用问题中的有关术语1．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．2．方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角．3．坡角坡面与水平面的夹角．4．坡比坡面的垂直高度与水平距离之比．知识点二　解三角形在物理中的应用数学在物理学中的应用非常广泛，某种角度上说，物理题实际上是数学应用题，解物理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案．1．方位角和方向角是一样的．(　×　)2．南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.(　√　)3．方位角可以是270°.(　√　)题型一　角度的测量问题例1　如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile)n解　在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC＝＝≈113.15.根据正弦定理，＝，sin∠CAB＝≈≈0.3255，所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.所以此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.反思感悟　解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝＝，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，n∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．题型二　解三角形在物理中的应用例2　如图所示，对某物体施加一个大小为10N的力F，这个力被分解到OA，OB两个方向上，已知∠AOB＝120°，力F与OA的夹角为45°，求分力的大小．解　如图，作＝F，＝F1，＝F2，作▱OGFC，由题设知||＝10，∠FOG＝45°，∠AOB＝120°，则∠FOC＝∠AOB－∠FOG＝120°－45°＝75°，由▱OGFC知，∠GFO＝∠FOC＝75°，在△FOG中，∠FGO＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得OG＝5，由正弦定理得＝，即＝，解得FG＝.所以OA方向的力的大小为5N，OB方向的力的大小为N.反思感悟　解决物理等实际问题的步骤(1)把实际问题受力平衡用图示表示．(2)转化为数学问题，通过正、余弦定理解三角形．(3)把数学问题的解转化为实际问题的解．跟踪训练2　有一两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为m/s，为使所走路程最短，小船行驶的方向应为(　　)A．与水速成45°B．与水速成135°nC．垂直于对岸D．不能确定答案　B解析　如图，设为水速，为船在静水中的速度，为＋.依题意，当⊥时，所走路程最短，现需求∠BAD，只要求∠CAD即可，在Rt△CAD中，||＝||＝1，||＝，∴sin∠CAD＝＝，且∠CAD为锐角．∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝45°＋90°＝135°.即小船应朝与水速成135°的方向行驶．1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案　B解析　如图，因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝×(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.2.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走．当乙走了2km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距km，则甲走的路程AC等于(　　)nA．2kmB．2kmC.kmD．1km答案　D解析　依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即3＝22＋AC2－2×2·AC·cos60°，AC2－2AC＋1＝0.解得AC＝1km.3．甲骑电动车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　)A．6kmB．3kmC．3kmD．3km答案　C解析　由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BS＝＝＝3(km)．4．一艘海轮从A处出发，以40nmile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10nmileB．10nmileC．20nmileD．20nmile答案　A解析　如图所示，由已知条件可得∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，nAB＝40×＝20(nmile)．∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得＝.∴BC＝＝10(nmile)．5．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|＝30N，|F2|＝50N，F1和F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向．(精确到0.1°)解　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得|F|＝＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝＝，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.所以F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°.1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.一、选择题1．某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)nA．15kmB．15kmC．20kmD．20km答案　A解析　设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，则∠OBA＝30°，所以由正弦定理，得AB＝15，即此时船与灯塔的距离是15km.2．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为(　　)A．2kmB．6kmC．2kmD．8km答案　B解析　如图在平行四边形ABCD中，为河水流速，为船在静水中的速度，为船在河水中的实际航速．由题意得AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，∴2＝2＝2＋2＋2·＝4＋16＋2×2×4×cos120°＝12，∴||＝2，即船实际航速为2km/h.∴船实际航程为2×＝6(km)．3．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为(　　)A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h答案　B解析　设A地东北方向上点P到B的距离为30km时，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即P1P2＝20(km)，故t＝＝＝1(h)．故选B.4.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子n最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)A．150°B．30°C．45°D．60°答案　B解析　设竹竿与地面所成的角为α，影子长为xm.由正弦定理，得＝，∴x＝sin(120°－α)．∵30°＜120°－α＜120°，∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．即竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．5．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为(　　)A．30kmB．30kmC．30kmD．20km答案　B解析　如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，AC＝60km，根据正弦定理，得BC＝＝＝30(km)．6．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为(　　)A．10mB．10(－1)mC.mD．20m答案　C解析　如图所示，n设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°前进40m到达C处，即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.在△ABC中，＝，即＝，∴AC＝20.过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，在△ABC中，由面积公式知×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB.∴AG＝＝AC×sin∠ACB＝20sin15°，∴AG＝20sin(45°－30°)＝20＝10(－1)．在Rt△AEG中，∵AE＝AGtan∠AGE，∴AE＝10(－1)×＝10－，∴塔高为m.二、填空题7．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝________cm.答案　解析　如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，n则在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知x＝＝＝(cm)．8.如图，小明以每分钟20米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔B在北偏东30°，行走1小时后，到达C处，看到这个电视塔在北偏西15°，则此时小明与电视塔的距离为______米．答案　3600解析　由题意得∠BAC＝60°，∠ACB＝75°，所以∠B＝45°，AC＝20×60＝1200(米)，＝，所以BC＝3600(米)．9.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为________m.答案　解析　在△ABC中，AC＝15m，AB＝5m，BC＝10m，由余弦定理得，cos∠ACB＝＝＝－，n∴sin∠ACB＝，又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝.10．海上一观测站A测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船D，在商船D的正东方有一艘海盗船B正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船B距观测站10海里，20分钟后测得海盗船B位于距观测站20海里的C处，再经________分钟海盗船B到达商船D处．答案　解析　如图，过A作AE⊥BD于点E，由已知可知AB＝10海里，BC＝30海里，AC＝20海里，∴cos∠ACB＝＝＝，∵0°<∠ACB<180°，∴∠ACB＝60°，∴AE＝10海里．∵∠DAE＝60°，∴DE＝10×＝30海里．∵∠CAE＝30°，∴CE＝10海里，∴DC＝20海里，∴t＝×60＝(分钟)．三、解答题11.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，其方位角是110°，在C处观察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离．n解　在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋35°＝75°，∴∠BAC＝75°.由正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝＝10(－)(km)．答　C到灯塔A的距离为10(－)km.12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解　如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10t，BC＝10t，∠ACB＝120°.在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理，得＝，n所以sin∠CAB＝＝＝，又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.13.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为(　　)A．4海里/小时B．3海里/小时C．2海里/小时D．4海里/小时答案　A解析　因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4(海里/小时)．14．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解　如图所示，考点为A，检查开始处为B，n设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1千米．在△ABC中，AB＝(千米)，AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1千米．在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1千米．∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．