江苏省2019届高考数学专题六应用题讲义 20页

应用题[江苏卷5年考情分析]“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近几年能力考查的重点．江苏卷一直在坚持以建模为主．所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键．应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2014年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的；2015、2016年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解；2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解；2018年应用考题是三角模型，需利用三角函数和导数知识求解．　　　　题型(一)函数模型的构建及求解主要考查以构建函数模型为背景的应用题，一般常见于经济问题或立体几何表面积和体积最值问题中.[典例感悟][例1]　(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？[解]　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．n(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)．当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2m时，仓库的容积最大．[方法技巧]解函数应用题的四步骤[演练冲关]1．(2018·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．n(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，L(x)＝16－x－2x＝64－－3x(0≤x≤5)．(2)法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43.当且仅当＝3(x＋1)，即x＝3时取等号．故L(x)max＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元.法二：由(1)可得L′(x)＝－3(0≤x≤5)，由L′(x)＝0，得x＝3.故当x∈(0,3)时，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上单调递增；当x∈(3,5)时，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上单调递减．所以当x＝3时，L(x)取得极大值，也是最大值，故L(x)max＝L(3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．2.(2018·江苏六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1)设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2)设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？解：(1)设所得圆柱的底面半径为rdm，则(2πr＋2r)×4r＝100，解得r＝.(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm，n则即法一：所得正四棱柱的体积V＝a2x≤记函数p(x)＝则p(x)在(0,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以当x＝2时，p(x)max＝20.所以当x＝2，a＝时，Vmax＝20dm3.答：当x为2时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．法二：由2a≤x≤，得a≤.所得正四棱柱的体积V＝a2x≤a2＝20a≤20.所以当a＝，x＝2时，Vmax＝20dm3.答：当x为2时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．题型(二)与三角形、多边形有关的实际应用题主要考查与三角形有关的实际应用题，所建立函数模型多为三角函数模型.[典例感悟][例2]　(2018·江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[解]　(1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.过点O作OE⊥BC于点E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ·(40sinθ＋10)n＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面积为×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10.连结OG，令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝，θ0∈.当θ∈时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是.答：矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米，△CDP的面积为1600(cosθ－sinθcosθ)平方米，sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k(k>0)，乙的单位面积的年产值为3k(k＞0)，则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600(cosθ－sinθcosθ)＝8000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈.设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈，则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)．令f′(θ)＝0，得θ＝，当θ∈时，f′(θ)＞0，所以f(θ)为增函数；当θ∈时，f′(θ)＜0，所以f(θ)为减函数．所以当θ＝时，f(θ)取到最大值．答：当θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[方法技巧]三角应用题的解题策略n(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解．(2)解三角应用题常见的两种情况：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法．[演练冲关]如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得＝＝，所以AN＝sinθ，AM＝sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°)．(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，当且仅当2θ＋150°＝270°，即θn＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2.题型(三)与圆有关的实际应用题主要考查与直线和圆有关的实际应用题，在航海与建筑规划中的实际　问题中常见.[典例感悟][例3]　一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使其用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°≈，≈5.7446)(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．[解]　(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图①)，依题意，AC＝3BC.在△ABC中，由正弦定理得，sin∠BAC＝sin∠ABC＝＝.因为sin17°≈，所以∠BAC＝17°.从而缉私艇应向北偏东47°方向追击.在△ABC中，由余弦定理得，cos120°＝，解得BC＝≈1.68615.又B到边界线l的距离为3.8－4sin30°＝1.8.因为1.68615<1.8，所以能在领海上成功拦截走私船．答：缉私艇应向北偏东47°方向追击．(2)法一：n如图②，设走私船沿BC方向逃跑，∠ABC＝α，缉私艇在C处截获走私船，并设BC＝a，则AC＝3a.由余弦定理得(3a)2＝a2＋16－8acosα.即cosα＝，所以sinα＝，1≤a≤2.所以BCcos(α－120°)＝a＝－(2－a2)＋·＝(a2－2)＋·.令t＝a2－，－≤t≤，再令t＝cosθ，0°≤θ≤180°.则BCcos(α－120°)＝t＋＋·＝cosθ＋sinθ＋＝sin(θ＋30°)＋≤1.75<1.8，所以无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．法二：如图③，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.则B(2,2)，设缉私艇在P(x，y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇，则＝3，即＝3.n整理得，2＋2＝，所以点P(x，y)的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.因为圆心到领海边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船.答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．[方法技巧]与圆有关应用题的求解策略(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A，B的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆．(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题．[演练冲关]如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)＝(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建该参观线路的最低费用．解：(1)法一：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l，DQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题意得，点E的坐标为，设直线EF的方程为y－1＝k(k<0)，即kx－y＋1－tk＝0.n因为直线EF与半圆相切，所以圆心O到直线EF的距离为＝1，解得k＝.代入y－1＝k可得，点F的坐标为.所以EF＝＝＋，即EF＝＋(00，所以当t∈时，y′<0；当t∈(1,2)时，y′>0，所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增．所以当t＝1时，y取最小值为24.5.由①②知，y取最小值为24.5.答：修建该参观线路的最低费用为24.5万元.A组——大题保分练1.在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示)，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．(1)若BC＝a＝10，求储存区域△ABC面积的最大值；(2)若AB＝AC＝10，在折线MBCN内选一点D，使DB＋DC＝a＝20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值．解：(1)设AB＝x，则AC＝，所以S△ABC＝x＝≤＝×50＝25，当且仅当x2＝100－x2，即x＝5时取等号，所以S△ABC取得最大值为25.(2)由DB＋DC＝20知点D在以B，C为焦点的椭圆上．因为S△ABC＝×10×10＝50，所以要使四边形DBAC的面积最大，只需△DBC的面积最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．由BC＝10得短半轴长为5，所以S△DBC的最大值为×10×5＝50.因此四边形DBAC面积的最大值为100.2.某地拟建一座长为640米的大桥AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A，B造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中640，所以当x＝80时，桥的总造价最低，此时桥墩数为－1＝7.3．如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON＝60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB(其中A，B分别在OM，ON上)，若下水管道的总长度为3km.设OA＝akm，OB＝bkm.(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；(2)已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为km，到点O的距离PO为km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．解：(1)∵OA＋OB＋AB＝3，∴AB＝3－a－b.∵∠MON＝60°，由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcos60°.∴(3－a－b)2＝a2＋b2－ab.整理，得b＝.n由a>0，b>0,3－a－b>0，及a＋b>3－a－b，a＋3－a－b>b，b＋3－a－b>a，得00.令t＝tanα－1>0，则tanα＝(t＋1)，所以MN＝.由基本不等式得MN≥·＝2，当且仅当t＝，即t＝2时取“＝”．n此时tanα＝，由于<α<，故α＝.答：当α＝时，MN的长度最小，为2千米．法二：(三角函数)MN＝＝＝＝.因为<α<，所以<2α－<，故