江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.4专题提能—“解析几何”专题提能课讲义 15页

第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课　失误1因忽视方程的标准形式而失误　　[例1]　已知抛物线的方程为y＝2ax2(a<0)，则它的焦点坐标为________．[解析]　y＝2ax2(a<0)可化为x2＝y，则焦点坐标为.[答案]　[点评]　本题易错如下：由抛物线方程为y＝2ax2，知抛物线的对称轴为y轴，2p＝－2a，所以p＝－a，＝－，所以它的焦点坐标为.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y2＝2px、y2＝－2px、x2＝2py、x2＝－2py，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数时要注意p>0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p，求出p后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误　　[例2]　过定点(1,2)作两直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是________________．[解析]　把圆的方程化为标准方程得，2＋(y＋1)2＝16－k2，所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k<－3或k>2.综上，k的取值范围是∪.[答案]　∪[点评]　本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D2＋E2－4F>0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分　　[例3]　已知过点(1,2)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦长AB＝2，求直线l的方程．n[解]　当过点(1,2)的直线l斜率不存在时，满足要求，所以方程x＝1满足题意；当过点(1,2)的直线l存在斜率时，记l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由弦长为2可得圆心到直线的距离为1，则d＝＝1，解得k＝，所以直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.所以所求直线l的方程为x＝1和3x－4y＋5＝0.[点评]　本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．　策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题　　[例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率为________．[解析]　法一：由可得B，C.由F(c,0)，得＝，＝.又∠BFC＝90°，所以·＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.法二：由可得B，C，所以BC＝a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e·a，CF＝a－exC＝a－e·a，又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即2＋2＝(a)2，式子两边同除以a2可得e2＝，即e＝.[答案]　[点评]　本题中B，C两点是关于y轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题n　　[例2]　若双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．[解析]　记双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，设点P到右准线的距离为d，则由题意得点P到左焦点的距离为PF1＝6d，由于PF1－PF2＝2a，所以PF2＝6d－2a，所以＝，所以d＝，又因为d≥a－，所以解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6)．[答案]　(1,2]∪[3,6)[点评]　一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a，b，c的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．　函数方程思想——解决平面几何中的最值问题[典例]　在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：＋＝1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．[解]　(1)由题意得解得a2＝8，b2＝1.所以所求椭圆C2的标准方程为＋y2＝1.(2)法一：设M(x，y)，则A(λy，－λx)(λ∈R，λ≠0)．因为点A在椭圆C2上，所以λ2(y2＋8x2)＝8，即y2＋8x2＝.①又x2＋8y2＝8.②①＋②得x2＋y2＝.所以S△AMB＝OM·OA＝|λ|(x2＋y2)＝≥.n当且仅当λ＝±1，即kAB＝±1时，(S△AMB)min＝.法二：假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线的方程为y＝kx(k≠0)．解方程组得x＝，y＝，所以OA2＝x＋y＝＋＝，AB2＝4OA2＝.又由解得x＝，y＝，所以OM2＝.由于S＝AB2·OM2＝··＝≥＝＝，当且仅当1＋8k2＝k2＋8时等号成立，即k＝±1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝.当k＝0时，S△AMB＝×4×1＝2>；当k不存在时，S△AMB＝×2×2＝2>.综上所述，△AMB面积的最小值为.[点评]　第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x，y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．　1．多角度几何条件求解离心率[例1]　如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为e，设A，B是椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，设直线AB的斜率为k，若0b，∴a2＝b2＋c2<2c2，∴e＝>.设A(x，y)，由⇒∵00，且x1＋x2＝，x1x2＝.由AM⊥AN，得·＝－1，即(k2＋1)x1x2＋(km＋2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，(k2＋1)＋(km＋2)＋m2＋4＝0，化简得5m2－16km＋12k2＝0，∵k≠0，∴52－16＋12＝0，解得＝或＝2(舍去)，直线MN：y＝k，过定点.法二：设直线AM：y＝k(x＋2)(k≠0)，则直线AN：y＝－(x＋2)．联立消去y，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，则－2xM＝，∴xM＝，yM＝.所以点M，同理点N，n所以kMN＝＝，所以直线MN的方程为y－＝，令y＝0，得x＝－＝＝－，所以直线MN过定点.法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题)同法二知，xM＝，xN＝，令＝⇒k2＝1，此时＝－，∴直线MN过定点C.当k2≠1，kCM＝＝，kCN＝＝.∴kCM＝kCN，∴M，N，C三点共线，即直线MN过定点.[点评]　直线过定点问题，可以设出直线方程y＝kx＋m，得出k与m的关系，从而得到过定点；也可以直接用k表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．[课时达标训练]A组——易错清零练1．过点P(2，－1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sinα＝，因为0≤α<π，所以cosα＝±＝±，所以tanα＝＝±，则所求直线方程为y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0.n答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝02．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________．解析：因为短轴长为2，即b＝1，所以a＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是.答案：3．设双曲线的渐近线为y＝±x，则其离心率为________．解析：由题意可得＝或＝，从而e＝＝＝或.答案：或4．若关于x的方程＝a(x－1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是________．解析：作出函数y＝的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y＝a(x－1)＋1，它是过点A(1,1)的直线，由图象可知，实数a的取值范围是.答案：B组——方法技巧练1．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝n.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.答案：42.如图，设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.答案：x2＋y2＝13．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：法一：设椭圆的另一个焦点F1(－c,0)，如图，连结QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M，又题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM.在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c.解得OM＝，MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝.由椭圆的定义QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝.法二：设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标为，kFQ＝.依题意得解得n又因为(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1.令e＝，则4e6＋e2＝1，故离心率e＝.答案：4．若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M的横坐标为x，根据焦半径公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各边同除以a，得－1≤≤1，则－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，则|MF|＝.①又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.n答案：3．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中，因为∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，则≤，解得－1≤x1≤1.答案：[－1,1]4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：在△MF1F2中，＝，而＝，∴＝＝.①又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.显然|MF2|>|MF1|，∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．n解：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．n6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A，B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．(1)求证：A，C，T三点共线；(2)如果＝3，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐标．解：(1)证明：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，①则A(0，b)，B(0，－b)，T，AT：＋＝1，②BF：＋＝1，③联立②③，解得交点C，代入①得：＋＝＝1.满足①式，则C点在椭圆上，A，C，T三点共线．(2)过C作CE⊥x轴，垂足为E(图略)，则△OBF∽△ECF.∵＝3，CE＝b，EF＝c，则C，代入①得：＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y＝2c2，此时C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，点P到直线AC的距离为d＝＝，S△APC＝d·AC＝··c＝·c.只需求x0＋2y0的最大值．∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2，n∴x0＋2y0≤c，当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝c.∴四边形的面积最大值为c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，此时椭圆方程为＋y2＝1，P点坐标.