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- 2022-04-12 发布
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不等式A组——抓牢中档小题1．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案：12．若00,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．解析：因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时取等号．答案：27．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端n点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需即解得所以－0，所以tanα＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当2tanβ＝，即tanβ＝时，等号成立．答案：12．(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(yn＋1)的最大值为5，则a＝________.解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A时，z取得最大值，由得即A(1,3)．又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.答案：213．设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．解析：法一：因为－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，则3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立．法二：因为－y2＝1＝，所以令＋y＝t，则－y＝，从而则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立．答案：6＋414．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．n解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.答案：B组——力争难度小题1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；当x∈(0,1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即其中∈[1，＋∞)，从而解得－2≤a≤0.答案：[－2,0]2．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．解析：由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.答案：83．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足约束条件则的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，n＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]4．已知函数f(x)＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知，点A(1,3)，B(－1,2)，C(2,0)，D(－2,8)．当a<0时，则点M(0，a)与点C，点A连线的斜率都大于0，故不符合题意；当0≤a≤2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合题意；当28时，则点M(0，a)与点B，点D连线的斜率都大于0，故不符合题意．综上，实数a的取值范围为[0,2]∪[3,8]．答案：[0,2]∪[3,8]5．(2018·镇江期末)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________．解析：法一：(ab作为一个变元)ab≤2＝4，＋＝＝＝.设t＝9－ab≥5，则＝≤＝，当且仅当t2＝80时等号成立，所以＋的最大值为.n法二：(均值换元)因为a＋b＝4，所以令a＝2＋t，b＝2－t，则f(t)＝＋＝＋＝，令u＝t2＋5≥5，则g(u)＝＝≤＝，当且仅当u＝4时等号成立．所以＋的最大值为.答案：6．已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．解析：由题意可令sinx＋cosx＝－，两边平方得1＋2sinxcosx＝，即sin2x＝－，代入3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3，解得－a－b≤3，可得a＋b≥－2，当a＋b＝－2时，令t＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]，则sin2x＝t2－1.所以3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3对t∈[－，]恒成立，即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0对t∈[－，]恒成立．记f(t)＝2(a＋2)t2－3at－2a－1，t∈[－，]．因为f＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以解得a＝－.答案：－
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