2020版高中数学第三章不等式3.2均值不等式（第2课时）均值不等式的应用学案 13页

第2课时　均值不等式的应用学习目标　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．知识点一　均值不等式及变形均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．当a>0，b>0时，有≤≤≤；当且仅当a＝b时，以上三个等号同时成立．知识点二　用均值不等式求最值用均值不等式≥求最值应注意：(1)x，y是否是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足．1．y＝x＋的最小值为2．(　×　)2．因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，(x2＋1)min＝2．(　×　)3．由于sin2x＋≥2＝4，所以sin2x＋的最小值为4．(　×　)4．当x>0时，x3＋＝x3＋＋≥2＋＝2x＋≥2，∴min＝2．(　×　)题型一　利用均值不等式求最值命题角度1　求一元解析式的最值n例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；(2)已知x>2，求x＋的最小值；(3)设00时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号．∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4．(2)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6．(3)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝．当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为．反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．跟踪训练1　函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为________．答案　－4解析　∵x＜0，∴－x＞0，∴(－2x)＋≥2＝4，n即y＝2x＋≤－4．命题角度2　求二元解析式的最值例2　(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________；(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．答案　(1)18　(2)解析　(1)∵xy＝2x＋y＋6≥2＋6，设＝t(t＞0)，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y且2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的最小值为18．(2)根据题意，1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝时等号成立．反思感悟　均值不等式连接了和“x＋y”与积“xy”，使用均值不等式就是根据解题需要进行和、积的转化．跟踪训练2　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．答案　9解析　∵x＋y＝1，∴＋＝(x＋y)＝1＋4＋＋．∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝4，∴5＋＋≥9．当且仅当即x＝，y＝时等号成立．∴min＝9．题型二　均值不等式在实际问题中的应用n例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解　设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋＋10809≥2＋10809＝10989(元)，当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立．所以该厂每10天购买一次面粉时，才能使平均每天所支付的总费用最少．引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解　设x1，x2∈[15，＋∞)，且x10，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)nA．8B．4C．1D．答案　B解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1．因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．5．设a，b，c∈R，ab＝2，且c≤a2＋b2恒成立，则c的最大值是(　　)A．B．2C．D．4答案　D解析　∵ab＝2，∴a2＋b2≥2ab＝4．又c≤a2＋b2恒成立，∴c≤4．故选D．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，若运用均值不等式求最值，等号取不到，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．2．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、选择题1．下列函数中，最小值为4的是(　　)nA．y＝x＋B．y＝sinx＋(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝＋答案　C解析　∵y＝x＋中x可取负值，∴其最小值不可能为4；由于0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，又∵y＝sinx＋在(0，1]上单调递减，∴最小值为5；由于ex＞0，∴y＝ex＋4e－x≥2＝4，当且仅当ex＝2时取等号，∴其最小值为4，∵≥1，∴y＝＋≥2，当且仅当x＝±1时取等号，∴其最小值为2．2．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，则lgxlgy的最大值是(　　)A．4B．2C．1D．答案　A解析　∵x>1，y>1，∴lgx>0，lgy>0，lgxlgy≤2＝4，当且仅当lgx＝lgy＝2，即x＝y＝100时取等号．3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)A．B．4C．D．5答案　C解析　∵a＋b＝2，∴＝1．∴＋＝＝＋＋≥＋2＝，故y＝＋的最小值为．n4．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为(　　)A．1B．C．D．答案　C解析　因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．5．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)A．3B．C．4D．答案　C解析　2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4，当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．二、填空题6．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．答案　解析　由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．答案　9解析　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝n＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1．∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9．8．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．答案　解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，所以直角三角形的面积S＝ab≤，即S的最大值为．9．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．答案　3解析　由a，b＞0，≤，所以a＋b≤．所以＋≤·＝3，当且仅当＝，即a＝，b＝时“＝”成立，所以所求最大值为3．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.答案　20解析　总运费与总存储费用之和f(x)＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号．三、解答题11．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．n(1)求实数a，b的值；(2)若00，>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，∴f(x)的最小值为9．12．已知x＞0，y＞0,2xy＝x＋4y＋a.(1)当a＝6时，求xy的最小值；(2)当a＝0时，求x＋y＋＋的最小值．解　(1)由题意，知x＞0，y＞0，当a＝6时，2xy＝x＋4y＋6≥4＋6，即()2－2－3≥0，∴(＋1)(－3)≥0，∴≥3，∴xy≥9，当且仅当x＝4y＝6时，等号成立，故xy的最小值为9．(2)由题意，知x＞0，y＞0，当a＝0时，可得2xy＝x＋4y．两边都除以2xy，得＋＝1，∴x＋y＋＋＝x＋y＋1＝(x＋y)·＋1＝＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，故x＋y＋＋的最小值为．13.为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．n(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解　(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N＋)，所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36＝－(n－10)2＋64，当n＝10时，y的最大值为64万元．(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2×＋20＝8(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．14．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．5答案　C解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号同时成立．15．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)A．2∈M，0∈MB．2∉M，0∉MC．2∈M，0∉MD．2∉M，0∈M答案　An解析　M＝．当k∈R时，＝＝＝(k2＋1)＋－2≥2－2＝2－2>2(当且仅当k2＝－1时，取等号)．∴2∈M，0∈M．