2020版高中数学第三章不等式3.5.2简单线性规划（第2课时）简单线性规划（二）学案 13页

第2课时　简单线性规划(二)学习目标　1.了解实际生活中线性规划问题的最优整数解求法．2.会解决生活中常见的线性规划问题．知识点一　求解线性规划最优整数解的方法1．平移找解法：先打网络、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法需充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图进行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．2．调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．3．由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的解逐一检验即可．知识点二　线性规划问题的实际应用1．线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务．2．求解线性规划应用题的步骤1．可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点．(　√　)2．在线性规划问题中，最优解一定是边界点．(　×　)题型一　求目标函数的最优整数解例1　画出2x－32时，目标函数的最优解有无穷多个．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．一、选择题1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为(　　)A．B．2C．D．－答案　B解析　画出满足约束条件的平面区域，如图所示．由题意可得A(1,0)．由图可知，当直线z＝2x＋y过A(1,0)时，z取得最大值，最大值是2.故选B.2.如图所示，已知x，y满足的可行域为四边形OACB(含边界)，若C是目标函数z＝ax－y取最小值时所对的点，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　Bn解析　∵y＝ax－z在C点取最优解，∴目标函数z＝ax－y在点C处取得最小值．∵kAC＝－，kBC＝－，∴－B．a>C．00答案　A解析　依据约束条件，画出可行域．∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)nA．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元答案　B解析　设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，则z＝0.4x＋0.6y.可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．由得A(24,36)，∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．8．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．由图可知，满足条件的平面区域中的整点为(1，－1)，(2，－2)，(0,0)，(0，－1)，共有4个．二、填空题9．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．答案　90解析　原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．n由图可知，当直线10x＋10y－z＝0过点时z有最大值，由于x，y∈N＋，可行域内与点最接近整点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值，为90.10．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．答案　216000解析　设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．11.给出平面区域如图所示，其中A(5,3)，B(1,1)，C(1,5)，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a＝________.答案　解析　直线y＝－ax＋z(a>0)的斜率为－a<0，当直线y＝－ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝.n三、解答题12．设x，y满足求z＝x＋y的取值范围．解　作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，z＝x＋y表示直线y＝－x＋z过可行域时在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值．联立解得A(2,0)．zmin＝2，z无最大值．∴x＋y∈[2，＋∞)．13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解　设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.A型车B型车限量车辆数xy10运物吨数24x30y180费用320x504yz由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5,0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2560(元)，即用8辆A型车，成本费最低．所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低．n14．设非负实数x，y满足(2,1)是目标函数z＝ax＋3y(a>0)取最大值时的最优解，求a的取值范围．解　作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由z＝ax＋3y(a>0)，得y＝－x＋，因为当直线z＝ax＋3y(a>0)过P(2,1)时，z取最大值，所以由图可知－≤－2，所以a≥6，所以a的取值范围是[6，＋∞)．15．某人有一幢楼房，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解　设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，由题意可得即目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－x＋，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．当直线y＝－x平移到经过B点时，z取得最大值，n但B并非整点，故要进一步搜索．利用B附近的网格，可在B附近找到A(2,9)，C(2,8)，D(3,8)这几个整点．因为斜率为－，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知(0,12)，(3,8)为最优整点解．所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．