2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学案 15页

3.2.2　平面的法向量与平面的向量表示学习目标　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.了解三垂线定理及其逆定理．知识点一　平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．知识点二　平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．知识点三　两平面平行或垂直的判定及三垂线定理1．两平面平行或垂直的判定方法设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．1．已知直线垂直于α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．(　×　)2．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(　×　)3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(　√　)4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　√　)题型一　求平面的法向量例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．n解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)，于是＝，＝(1，，0)．设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以令y＝－1，则x＝z＝.所以平面ACE的法向量为n＝(，－1，)．引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．解　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．由即所以令y＝1，则z＝.所以平面PCD的法向量为n＝(0,1，)．反思感悟　利用待定系数法求平面法向量的步骤n(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．(6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．解　连接PF，CF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB.所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz(如图所示)．由题意得F(0,0,0)，P，D，C，E.所以＝，＝.设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．则即所以令y＝2，则x＝，z＝－2.所以平面DEF的法向量为m＝(，2，－2)．题型二　利用空间向量证明平行问题例2　已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：n(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练2　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．解　分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，n∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，∵∥，∴(－1)×y－2(z－1)＝0，①∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0.∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.题型三　利用空间向量证明垂直问题例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明　方法一　如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，n∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1.又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.方法二　同方法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)．由得令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.反思感悟　利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直(1)证明　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.n设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)．由得令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理，平面A1FD1的法向量为n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.(2)解　由于点M在直线AE上，因此可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，则M(2,2λ，λ)，∴＝(0,2λ，λ－2)．要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，即＝，解得λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.利用向量求解空间中的探索性问题典例　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.考点　向量法求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面垂直解　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，n则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝，＝(0,1,1)．设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1)．设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即∴令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.[素养评析]　立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意．本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P的坐标．1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m等于(　　)A．－4B．－6C．－8D．8答案　C解析　∵l∥α，平面α的法向量为，∴(2，m,1)·＝0，n即2＋m＋2＝0，∴m＝－8.2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案　A解析　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.3．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　)A．(0,1,2)B．(3,6,9)C．(－1，－2,3)D．(3,6,8)答案　B解析　向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)A．－B．6C．－6D.答案　B解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)，则t的值为________．答案　5解析　∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直，∴μ·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．n一、选择题1．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥α，则x的值为(　　)A．－2B．－C.D．±答案　D解析　由题意知，－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.2．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则(　　)A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案　C3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1,1)B.C.D.答案　B解析　对于A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；同理可排除C，D；对于B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.4．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为(　　)A．1或2B．－1或－2C．－1D．－2答案　B解析　由题意可知，n1·n2＝(1,2，x)·(x，x＋1，x)＝x＋2x＋2＋x2＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2.5．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α答案　D解析　当a·b＝0时，l⊂α或l∥α.6．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若cn为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2答案　A解析　c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的法向量，得得7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)A．－3B．6C．－6D．－12答案　B解析　α⊥β⇒μ·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．∵　∴令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，单位法向量为或.二、填空题9．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x的值为________．答案　11解析　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使＝k1＋k2，即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，∴解得∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.10．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若nα∥β，则k＝________.答案　4解析　由α∥β，得＝＝(kD＝/0)，解得k＝4.11．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)答案　是解析　如图，以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝，SB＝，得B(－，2,0)，S(0,0，2)，C(0,2,0)，＝(0,2，－2)，＝(－，0,0)．因为·＝0，所以SC⊥BC.三、解答题12．已知平面α经过点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解　∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，依题意有即解得令y＝1，则x＝2，∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．n求证：PD⊥平面ABE.证明　∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D.∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C，E.∴＝(1,0,0)，＝，∴设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．∵＝，显然＝n，∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.14.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．n求证：平面DEA⊥平面ECA.证明　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．分别设平面CEA与平面DEA的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA⊥平面ECA.15.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直证明　(1)以点B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，n则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，∴＝＋，故，，共面．又它们有公共点B，∴E，B，F，D1四点共面．(2)设M(0,0，z)，则＝，而＝(0,3,2)，由题设得·＝－·3＋z·2＝0，得z＝1.∵M(0,0,1)，E(3,0,1)，∴＝(3,0,0)，又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，∴·＝0，·＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.