2020版高中数学第三章一元二次不等式及其解法（第1课时）一元二次不等式及其解法（一）学案 8页

第1课时　一元二次不等式及其解法(一)学习目标　1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2.掌握图象法解一元二次不等式．3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．知识点一　一元二次不等式的概念1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数．3．能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．4．不等式所有解的集合称为解集．知识点二　“三个二次”的关系一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x10或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；n(4)根据图象写出不等式的解集．1．x2＞1的一个解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(　√　)2．方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0．(　√　)3．如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解．(　×　)4．x2－1>0与1－x2<0的解集相等．(　√　)题型一　一元二次不等式的解法命题角度1　二次项系数大于0例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集．解　因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，所以原不等式的解集为.反思感悟　在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集．解　∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.命题角度2　二次项系数小于0例2　解不等式－x2＋2x－3>0.解　不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.反思感悟　将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担．跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集．解　不等式可化为3x2－6x＋2<0，n∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x1＝1－，x2＝1＋，∴不等式－3x2＋6x>2的解集是.题型二　“三个二次”间对应关系的应用例3　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．解　由根与系数的关系，可得即∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.解得x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为.反思感悟　给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．跟踪训练3　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|10，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知解得方法二　把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得数形结合解不等式典例　函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的实数x的取值范围是(　　)A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]答案　D解析　根据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图：不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[－1,1]之间时，求横坐标x的取值集合．由已知，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，所以由－1≤f(xn－2)≤1得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，故选D．[素养评析]　直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)A．B．{x|x＞1}C．{x|x<1或x＞2}D．答案　D解析　∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为．2．不等式－x2－x＋2>0的解集为_____________．答案　{x|－20(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m0，则可得{x|x>n或x0}，则A∩B等于(　　)A．B．C．D．答案　D解析　由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|10}＝，得A∩B＝＝，故选D.3．若00的解集是(　　)nA．B．C．D．答案　D解析　∵01，∴>t.∴(t－x)>0⇔(x－t)<0⇔t0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－72}答案　A解析　∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．6．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)答案　A解析　f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．7．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(　　)A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1－lg2}D．{x|x<－lg2}答案　Dn解析　由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即－1<10x<，解得x<－lg2.8．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求∁UA．解　依题意，∁UA中的元素应满足即解得∁UA＝{x|x<－1或x≥3}．13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，n∴∴b＝－a，c＝－a，∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0．又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，解得－0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a≠0}，若C⊇(A∩B)，则实数a的取值范围是______________．答案　解析　A＝{x|－32}，∴A∩B＝{x|2