江苏省2019届高考数学二轮复习自主加餐的3大题型6个解答题综合仿真练（一） 6页

6个解答题综合仿真练(一)1.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：(1)PA∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PCD.证明：(1)连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA.又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.2．已知函数f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；(2)若x∈，求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝(cosx＋sinx)2－2sin2x＝3cos2x＋2sinxcosx＋sin2x－2sin2x＝＋－sin2x＝cos2x－sin2x＋2＝2cos＋2当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值0.故f(x)的最小值为0，f(x)取得最小值时自变量x的取值集合为.(2)由(1)知f(x)＝2cos＋2，令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ(k∈Z)，n解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．又x∈，则令k＝－1，x∈，令k＝0，x∈，所以函数f(x)在上的单调递增区间是和.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C的坐标为，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．解：(1)因为椭圆的离心率为，所以＝，即＝.　①又因为点C在椭圆上，所以＋＝1.　②由①②解得a2＝9，b2＝5.因为a>b>0，所以a＝3，b＝.(2)法一：由(1)知，＝，所以椭圆方程为＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2.设直线OC的方程为x＝my(m>0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．由消去x，得5m2y2＋9y2＝5a2，所以y2＝.因为y2>0，所以y2＝.因为＝，所以AB∥OC.可设直线AB的方程为x＝my－a.由消去x，得(5m2＋9)y2－10amy＝0，所以y＝0或y＝，得y1＝.因为＝，所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1，即＝(m>0)，所以m＝.n所以直线AB的斜率为＝.法二：由(1)可知，椭圆方程为5x2＋9y2＝5a2，则A(－a，0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)．由＝，得(x1＋a，y1)＝，所以x1＝x2－a，y1＝y2.因为点B，C都在椭圆5x2＋9y2＝5a2上，所以解得x2＝，y2＝，所以直线AB的斜率k＝＝.4.如图，半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图，半径OA的长为10.管理部门在A，B两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，地面上某点处照度y与光强度I成正比，与光源距离x的平方成反比，即y＝(k为比例系数)．经测量，在弧AB的中点C处的照度为130.(C处的照度为A，B两处光源的照度之和)(1)求比例系数k的值；(2)现在管理部门计划在半圆弧AB上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P安装在什么位置？解：(1)因为半径OA的长为10，点C是弧AB的中点，所以OC⊥AB，AC＝BC＝10.所以C处的照度为y＝＋＝130，解得比例系数k＝2000.(2)设点P在半圆弧AB上，且P距光源A为x，则PA⊥PB，由AB＝20，得PB＝(0＜x＜20)．所以点P处的照度为y＝＋(0＜x＜20)．所以y′＝－＋＝4000×＝20000×.n由y′＝0，解得x＝4.当0＜x＜4时，y′＜0，y＝＋为减函数；当4＜x＜20时，y′＞0，y＝＋为增函数．所以x＝4时，y取得极小值，也是最小值.所以新增光源P安装在半圆弧AB上且距A为4(距B为4)的位置．5．已知函数f(x)＝(a－3)x－a－2lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a的最小值；(2)已知不等式f(x)＋3x≥0对任意x∈(0,1]都成立，求实数a的取值范围．解：(1)法一：因为f′(x)＝a－3－(x>0),当a≤3时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a＞3时，由f′(x)＜0，得0＜x＜，f(x)在0，上单调递减，由f′(x)＞0，得x＞，f(x)在上单调递增.因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，所以a＞3且≤1，所以a≥5,所以实数a的最小值为5.法二：因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，所以f′(x)＝a－3－≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≥3＋在(1，＋∞)上恒成立，又当x＞1时，3＋＜5,所以a≥5，所以实数a的最小值为5.(2)令g(x)＝f(x)＋3x＝a(x－1)－2lnx，x∈(0,1]，所以g′(x)＝a－.①当a≤2时，由于x∈(0,1]，所以≥2，所以g′(x)≤0，g(x)在(0,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝0，所以对任意x∈(0,1]，g(x)≥g(1)＝0，即对任意x∈(0,1]不等式f(x)＋3x≥0都成立，所以a≤2;n②当a＞2时，由g′(x)＜0，得0＜x＜，g(x)在上单调递减；由g′(x)＞0，得x＞，g(x)在上单调递增．所以，存在∈(0,1)，使得g＜g(1)＝0，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记集合M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若M中有3个元素，求λ的取值范围；(3)是否存在等差数列{bn}，使得a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，得a1＝1.当n≥2时，由Sn＝2an－1，①得Sn－1＝2an－1－1，②①－②，得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.(2)由已知可得λ≤，令f(n)＝，则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝，f(5)＝，下面研究f(n)＝的单调性，因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f(n)，即f(n)单调递减.因为M中有3个元素，所以不等式λ≤解的个数为3，所以2＜λ≤，即λ的取值范围为.(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.所以等差数列{bn}的公差d＝1，所以bn＝n.n设S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋＝2n＋1－n－2，所以存在等差数列{bn}，且bn＝n满足题意.