江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.2大题考法—直线与圆达标训练 7页

直线与圆A组——大题保分练1．已知圆O：x2＋y2＝4交y轴正半轴于点A，点B，C是圆O上异于点A的两个动点．(1)若B与A关于原点O对称，直线AC和直线BC分别交直线y＝4于点M，N，求线段MN长度的最小值；(2)若直线AC和直线AB的斜率之积为1，求证：直线BC与x轴垂直．解：(1)由题意，直线AC和直线BC的斜率一定存在且不为0，且A(0,2)，B(0，－2)，AC⊥BC.设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为－，所以直线AC的方程为y＝kx＋2，直线BC的方程为y＝－x－2，故它们与直线y＝4的交点分别为M，N(－6k,4)．所以MN＝≥4，当且仅当k＝±时取等号，所以线段MN长度的最小值为4.(2)证明：易知直线AC和直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AC的方程为y＝kx＋2，则直线AB的方程为y＝x＋2.由解得C，同理可得B.因为B，C两点的横坐标相等，所以BC⊥x轴．2．已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．(1)过M作直线交圆于A，B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；(2)过M作圆的切线，切点分别为C，D，求切线长及CD所在直线的方程．解：(1)圆即(x－2)2＋(y＋1)2＝8，圆心为P(2，－1)，半径r＝2.①若割线斜率存在，设AB：y＋8＝k(x－4)，即kx－y－4k－8＝0，设AB的中点为N，则|PN|＝＝，由|PN|2＋2＝r2，得k＝－，AB：45x＋28y＋44＝0.n②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意．综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.(2)切线长为＝＝3.以PM为直径的圆的方程为(x－2)(x－4)＋(y＋1)(y＋8)＝0，即x2＋y2－6x＋9y＋16＝0.又已知圆的方程为x2＋y2－4x＋2y－3＝0，两式相减，得2x－7y－19＝0，所以直线CD的方程为2x－7y－19＝0.3．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2n截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d.∵l被圆C1截得的弦长为2，∴d＝＝1.又由点到直线的距离公式得d＝，∴k(24k＋7)＝0，解得k＝0或k＝－，∴直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，由题意分析可得直线l1，l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．∵圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即＝，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|.∴1＋3k＋ak－b＝±(5k＋4－a－bk)，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5.∵k的取值有无穷多个，∴或解得或故这样的点只可能是点P1或点P2－，.B组——大题增分练1.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝2时，求直线l的方程．n解：(1)设圆A的半径为r.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝2，∴AQ＝＝1，则由AQ＝＝1，得k＝，∴直线l：3x－4y＋6＝0.故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当OP＝OM时，求证：△POM的面积为定值．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以PM的斜率为－，n故PM的方程为y＝－x＋.又OM＝OP＝2，O到l的距离d为，所以PM＝2＝，所以△POM的面积为S△POM＝PM·d＝.3.如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H(0，t)的直线l与圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)当t＝1时，求直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围．解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，所以圆心C在直线y＝1上．又圆C与x轴的交点分别为A，B，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB＝.所以CA＝CB＝2，圆心C的坐标为(－2,1)．所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.(2)当t＝1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝mx＋1.由消去y，得(m2＋1)x2＋4x＝0，解得或不妨令M，N(0,1)．因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)，所以·＝·(0,1)＝＝0，解得m＝2±，故所求直线l的方程为y＝(2＋)x＋1或y＝(2－)x＋1.(3)设直线OM的方程为y＝kx，由题意，知≤2，解得k≤.同理得－≤，解得k≤－或k>0.由(2)知，k＝0也满足题意．n所以k的取值范围是∪.4．已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)∵l与m垂直，且km＝－，∴kl＝3，故直线l方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l方程，∴当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，∵PQ＝2，∴CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.(3)∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.当l与x轴垂直时，易得N，则＝，又＝(1,3)，∴·＝·＝－5.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由得N，则＝，n∴·＝·＝＋＝－5.综上所述，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.