2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程微专题突破三焦点弦的性质学案新人教b版 11页

专题突破三　焦点弦的性质抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．一、焦点弦性质的推导例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)＋＝为定值；(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题证明　(1)①当AB⊥x轴时，不妨设A，B，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程y2＝2px，消元得y2＝2p，即y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.n(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，由图知|GG1|＝|AA1|，则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，同理得|BF|＝；当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，∴|AF|＝，|BF|＝.(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋＝≥2p，当且仅当θ＝90°时取等号．故通径长2p为最短的焦点弦长．(4)由(2)可得，＋＝＋＝.(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，故满足S△OAB＝；当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，原点O到直线AB的距离d＝＝sinθ，S△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.n(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，则|MM1|＝＝＝，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．二、焦点弦性质的应用例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A.B.C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　D解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为y＝，代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3，y1y2＝－，故所求三角形的面积为××＝.方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，则S△OAB＝＝＝.(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.n不妨设直线l1的斜率为k，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16.方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，因此|AB|＋|DE|＝＋＝＋＝＝≥16.点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．跟踪训练1　(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)A.B.C.D．2考点　题点　答案　C解析　方法一　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴取A点坐标为(2,2)，n则直线AB的斜率k＝＝2，∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝，∴|BF|＝x2＋1＝，∴|AB|＝3＋＝，∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.方法二　设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，|AF|＝＝＝3，∴cosθ＝，S△AOB＝＝＝.(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　解析　方法一　设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，∵|AB|＝＝＝，∴sin2θ＝，则cosθ＝＝，n又|AF|<|BF|，∴|AF|＝＝＝.方法二　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题干知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别为p，q，则＋等于(　　)A.B.C．2aD．4a考点　题点　答案　B解析　可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　)A．3B．2C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　由抛物线的性质可知，|AF|＝，|BF|＝，∴＝＝3.4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　)A．4B．6C．8D．10考点　抛物线中过焦点的弦长问题n题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　由焦点弦的性质知，y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，则y＋y≥2|y1|·|y2|＝8，当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号．故y＋y的最小值为8.5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为(　　)A.B．2C.D.考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　设直线l的倾斜角为θ，由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝，∴解得6.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(　　)A．等于1B．等于4C．最小值是1nD．最大值是4考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　A解析　设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝，而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题答案　C解析　当cosθ>0时，|AF|＝，|BF|＝，∵|AF|＝3|BF|，∴＝，∴cosθ＝，则tanθ＝，∴l的方程为y＝(x－1)，当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝，∵|AF|＝3|BF|，∴＝，n∴cosθ＝－，则tanθ＝－，∴l的方程为y＝－(x－1)，则l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．8．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．解　(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x2－4kx－24＝0，∴(*)易知抛物线在点P处的切线方程为y－＝(x－x3)，令y＝－1，得x＝，∴R，又Q，F，R三点共线，∴kQF＝kFR，又F(0,1)，∴＝，即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，∴直线m的方程为y＝±x＋6.