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- 2022-04-12 发布
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3.1.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.学会用作差法比较两实数的大小．知识点一 不等关系与不等式的概念1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．2．符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为ab⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2．综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2．反思感悟 比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解 ∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2n＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，∵＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)＜0，∴x3－1＜2x2－2x．命题角度2 作差法证明不等式例3 证明函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．证明 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)．因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，又2＋x＞0，所以(x1－x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．反思感悟 有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．跟踪训练3 若a＞b，ab＞0，求证：＜．证明 －＝．∵a＞b，∴b－a＜0．又ab＞0，∴＜0，即－＜0，∴＜． 1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分yn高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )A．B．C．D．答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45．2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )A．a>b>－b>－aB．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－aD．a>b>－a>－b答案 C解析 由a＋b>0，知a>－b，∴－a0，∴a>－b>b>－a．3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x个，高中班y个，则有1．比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a|b|D．a2＋b2≥－2ab答案 D解析 a>0，b<0.则a－b>0，而a＋b的符号不确定，|b|与|a|的大小也不确定；(a＋b)2≥0，则a2＋b2≥－2ab，故选D.3．设xax>a2C．x2a2>ax答案 B解析 ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2．4．不等式：①a2＋2＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．3答案 D解析 a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，∴a2＋2＞2a，①对；na2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴②对．a2＋b2－ab＝a2－ab＋＋＝2＋≥0，∴③对．5．若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是( )A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．不确定答案 A解析 A－B＝＋3－－2＝－＋1＝2＋＞0．∴A＞B．6．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不确定答案 B解析 M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．∵a1，a2∈(0，1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0，∴M－N＞0，∴M＞N．7．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b≤cB．b≤c＜aC．b＜c＜aD．b＜a＜c答案 A解析 由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，得b≤c，再由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，n得2b＝2＋2a2，因为1＋a2－a＝2＋＞0，所以b＝1＋a2＞a，所以a＜b≤c．二、填空题8．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________.答案 >解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．9．若x∈R，则与的大小关系为________．答案 ≤解析 ∵－＝＝≤0．∴≤．10．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为_________________________．答案 (x＋5)(x＋7)<(x＋6)2解析 因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0．所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2．11．已知0N解析 ∵00，1＋b>0．M＝＋＝，N＝＋＝．∵ab<1，∴2ab<2，∴a＋b＋2ab<2＋a＋b，∴M>N．n三、解答题12．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．13．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯为x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？解 由优惠办法(1)得y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，由优惠办法(2)得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，令y1－y2＝0，得x＝34，当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．14．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．解 －(＋)＝＋＝＋＝＝．因为a，b为正实数，所以＋>0，>0，(－)2≥0，n所以≥0，所以＋≥＋．15．规定AB＝A2＋B2，A⊖B＝A·B，A，B∈R，若M＝a－b，N＝a＋b，a，b∈R，判断MN与M⊖N的大小．解 MN＝M2＋N2＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2a2＋2b2．M⊖N＝M·N＝(a－b)(a＋b)＝a2－b2，MN－M⊖N＝2a2＋2b2－(a2－b2)＝a2＋3b2≥0，所以MN≥M⊖N．
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