2020版高中数学第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学案 12页

3．2.2　导数公式表学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一　常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－知识点二　基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xnf′(x)＝nxn－1(n为自然数)f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝题型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；n(4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x.解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝＝＝＝.(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝()′＝＝－.(6)y′＝(3x)′＝3xln3.反思感悟　若题目中所给出的函数解析式不适用导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1　求下列函数的导数．(1)y＝lgx；(2)y＝x；(3)y＝(1－)＋；(4)y＝2cos2－1.考点　基本初等函数的导数公式题点　利用导数公式求函数的导数解　(1)y′＝(lgx)′＝(log10x)′＝.(2)y′＝′＝xln＝－xln2.(3)∵y＝(1－)＋＝＋＝＝∴y′＝－(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，n∴y′＝(cosx)′＝－sinx.题型二　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式解决切线问题例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．设切点坐标为(x0，y0)，由直线PQ的斜率为k＝＝1，又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－，所以切点坐标为.所以所求切线方程为y－＝(－1)，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M，所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.反思感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2　已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，n则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝＝cosx0，k2＝＝－sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．命题角度2　利用导数公式解决最值问题例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解　依题意知，抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，∴切点坐标为，∴所求的最短距离为d＝＝.反思感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3　已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1，故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．导数公式的应用典例　设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2019(x)等于(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx考点　基本初等函数的导数公式题点　正弦、余弦函数的导数n答案　D解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知fn(x)关于n的周期为4，∴f2019(x)＝f504×4＋3(x)＝－cosx.[素养评析]　熟记导数公式是进行导数运算的前提，正确的进行导数运算，方能找出规律，寻找到正确的结论．1．下列结论：①(sinx)′＝cosx；②；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个答案　C解析　∵②＝；③(log3x)′＝，∴②③错误，故选C.2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)A.B．0C.D.答案　A解析　∵根据导数的定义，可得f′(x)＝，∴f′(3)＝＝.n3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝.答案　解析　∵f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，∴a＝.4．求过曲线y＝sinx上的点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程．解　曲线y＝sinx在点P处的切线斜率为k＝＝cos＝，则与切线垂直的直线的斜率为－，∴所求直线方程为y－＝－，即12x＋18y－2π－9＝0.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列结论中正确的个数为(　　)①y＝ln2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.A．0B．1C．2D．3考点　基本初等函数的导数公式n题点　基本初等函数的导数公式的应用答案　D解析　①中y＝ln2为常数，所以y′＝0.①错．2．已知f(x)＝，则f等于(　　)A．－25B．－C.D．25考点　几个常用函数的导数题点　几个常用函数导数的应用答案　B解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于(　　)A．4B．－4C．5D．－5考点　基本初等函数的导数公式题点　常数、幂函数的导数答案　A解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　)A.B.或C.(k∈Z)D.或(k∈Z)考点　基本初等函数的导数公式题点　正弦、余弦函数的导数答案　Dn解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－.5．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)A.e2B．2e2C．e2D.考点　基本初等函数的导数公式题点　指数函数、对数函数的导数答案　D解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.∴S＝×1×|－e2|＝e2.6．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(　　)A．4B．－4C．28D．－28考点　基本初等函数的导数公式题点　常数、幂函数的导数答案　C解析　∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.7．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)A．eB．－eC.D．－考点　基本初等函数的导数公式题点　指数函数、对数函数的导数答案　C解析　设切点坐标为(x0，lnx0)，则切线的斜率为＝，又切线斜率可表示为，n∴＝，则x0＝e，∴切线的斜率为.8．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)A.B.C.D．1考点　题点　答案　B解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.二、填空题9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝.考点　几个常用函数的导数题点　几个常用函数导数的应用答案　－4解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，又g′(2)＝，∴m＝－4.10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．考点　基本初等函数的导数公式题点　指数函数、对数函数的导数答案　(1,1)解析　因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.n设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为．考点　基本初等函数的导数公式题点　正弦、余弦函数的导数答案　解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，则sinx＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z，∴其解集为.三、解答题12．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值．考点　几个常用函数的导数题点　几个常用函数导数的应用解　∵，∴y′＝－，∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－，∴切线方程为y－＝－(x－a)．令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a，∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．考点　基本初等函数的导数公式题点　指数函数、对数函数的导数n解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.14．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx考点　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．考点　题点　证明　设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝′＝－.∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2a2.n即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.