2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件学案新人教b版 12页

1.3.1　推出与充分条件、必要条件学习目标　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．知识点一　命题的结构命题的形式：在数学中，经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．知识点二　充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点三　充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　×　)n2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(　√　)3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(　√　)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　√　)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)题型一　充分、必要、充要条件的判断例1　指出下列各组命题中p是q的什么条件？(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(4)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB.解　(1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0⇏x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇏q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇏p，所以p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟　充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1　下列各题中，p是qn的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根．解　(1)因为四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(3)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0.所以p是q的充分不必要条件．题型二　充分、必要、充要条件的应用命题角度1　由充分条件、必要条件求参数范围例2　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点　充分、必要条件的综合应用题点　由充分、必要条件求参数的范围解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|00)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.n所以或解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的充要条件，则m不存在．反思感悟　由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2　(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2－a，即a>2.(2)已知P＝{x|a－4ax对于一切实数x都成立的充要条件．考点　充要条件的概念及判断题点　寻求充要条件解　由题意可知，关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立，n等价于对于方程ax2－ax＋1＝0中，⇔00，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[素养评析]　(1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.n(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)A．a＋b<0B．a＋b>0C.>1D.<－1答案　A解析　a＋b<0⇏a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.2．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案　C解析　∵－2＜x＜1⇏x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1⇏－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分也不必要条件．3．下列命题为假命题的是(　　)A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1C．在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件D．lgx>lgy是>的充要条件答案　D解析　选项A中，由B＝60°⇒A＋C＝120°⇒A＋C＝2B⇒角A，B，C成等差数列；而角A，B，C成等差数列⇒A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°，故命题为真．选项B中，a⊥b⇔a·b＝0，即2x＋2＝0，得x＝－1，故B正确．选项C中，在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故A＝B是sinA＝sinB的充要条件．选项D中，取x＝2，y＝0，n有>，但lgy却无意义，所以是假命题．4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．答案　(－∞，－3]解析　由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A⊆B，则有a≤－3.5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．解　由3x＋m<0，得x<－，∴p：A＝.由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．∵p⇒q且q⇏p，∴AB，∴－≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．n一、选择题1．设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的(　　)A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　若a>2，b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故选B.2．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　a＝1⇒N⊆M，N⊆M⇒a2＝1或2，∴N⊆M⇏a＝1，故a＝1是N⊆M的充分不必要条件．3．已知等差数列{an}，则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断答案　C解析　等差数列{an}为递增数列等价于an2，q：x>答案　A解析　由A∩B＝A能得出A⊆B，其余选项都不符合要求．5．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的(　　)A．充分不必要条件nB．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　ab≠0，即此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.6．下列四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(　　)A．a≥b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3考点　充分、必要条件的判断题点　充分不必要条件的判断答案　A解析　由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5⇏4≥3.5＋1，故a>b⇏a≥b＋1，故A正确．7．集合A＝，B＝{x|－a2且y>3”是“x＋y>5”的充分条件；②“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R”的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断答案　①④解析　①当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，故①为真命题；②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x>0，y>0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.三、解答题12．判断下列各题中，p是q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；n(4)p：圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.考点　充要条件的概念及判断题点　充要条件的判断解　(1)∵|x|＝|y|⇏x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形⇏△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形⇏△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)相切，则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，∴c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，说明圆x2＋y2＝r2(r>0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．13．(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？考点　充分、必要条件的综合应用题点　由充分、必要条件求参数的范围解　(1)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只需⊆{x|x<－1或x>3}，则只需－≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只需⊇{x|x<－1或x>3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．n14．设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________．(填序号)考点　充分、必要条件的判断题点　充分不必要条件的判断答案　(1)解析　图(1)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，∴p⇒q，但q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．图(2)p⇔q，∴p是q的充要条件．图(3)开关S，S1与灯泡L串联，∴p⇏q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．15．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明　充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．